Définition — Espérance. Si $X$ X prend les valeurs $x_{1}, \dots, x_{k}$ x₁, …, xₖ avec les probabilités $p_{1}, \dots, p_{k}$ p₁, …, pₖ : $E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{k} p_{k} E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + \dots + xₖpₖ$ C'est la valeur moyenne de $X$ X sur un grand nombre de répétitions.

Exemple — Maintenance. Le nombre $X$ X d'interventions par jour sur une machine vaut $0$ 0, $1$ 1, $2$ 2 avec les probabilités $0, 6$ 0,6 ; $0, 3$ 0,3 ; $0, 1$ 0,1. $E (X) = 0 + 0, 3 + 0, 2 = 0, 5$ E(X) = 0 + 0,3 + 0,2 = 0,5 : en moyenne une intervention tous les deux jours.

Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux

Définition — Schéma de Bernoulli. Répéter $n$ n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli (succès de probabilité $p$ p) constitue un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ n et $p$ p. On le représente par un arbre à $2^{n}$ 2ⁿ chemins.

Définition — Coefficient binomial. Le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ k succès est noté $(k n)$ binom nk (« $k$ k parmi $n$ n »).

Propriété — Valeurs immédiates et formule de Pascal. $(0 n) = (n n) = 1$ binom n0 = binom nn = 1 ; $(1 n) = (n - 1 n) = n$ binom n1 = binom nn-1 = n ; $(k n) = (n - k n)$ binom nk = binom nn-k, et pour $1 \leq k \leq n - 1$ 1 ≤ k ≤ n - 1 : $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1) binom nk = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)$

Démonstration. Un chemin à $k$ k succès sur $n$ n épreuves commence soit par un succès, suivi de $k - 1$ k - 1 succès sur les $n - 1$ n - 1 épreuves restantes ( $(k - 1 n - 1)$ C(n-1, k-1) chemins), soit par un échec, suivi de $k$ k succès sur $n - 1$ n - 1 épreuves ( $(k n - 1)$ C(n-1, k) chemins).

Méthode — Triangle de Pascal. Chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui (à gauche et juste au-dessus) :

$n \ k$ n backslash k	$0$ 0	$1$ 1	$2$ 2	$3$ 3	$4$ 4	$5$ 5	$6$ 6
$0$ 0	$1$ 1
$1$ 1	$1$ 1	$1$ 1
$2$ 2	$1$ 1	$2$ 2	$1$ 1
$3$ 3	$1$ 1	$3$ 3	$3$ 3	$1$ 1
$4$ 4	$1$ 1	$4$ 4	$6$ 6	$4$ 4	$1$ 1
$5$ 5	$1$ 1	$5$ 5	$10$ 10	$10$ 10	$5$ 5	$1$ 1
$6$ 6	$1$ 1	$6$ 6	$15$ 15	$20$ 20	$15$ 15	$6$ 6	$1$ 1

On le prolonge ligne par ligne jusqu'à $n = 10$ n = 10 ; par exemple $(3 10) = 120$ C(10, 3) = 120.

Loi binomiale

Définition — Loi binomiale. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ n et $p$ p, la variable $X$ X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale $B (n; p)$ mathcal B(n ;p). Pour $k = 0, 1, \dots, n$ k = 0, 1, …, n : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} P(X = k) = binom nk p^(k)(1 - p)^(n-k)$ (nombre de chemins à $k$ k succès $\times$ × probabilité d'un tel chemin).

Propriété — Cas particuliers. $P (X = 0) = (1 - p)^{n}$ P(X = 0) = (1 - p)ⁿ ; $P (X = n) = p^{n}$ P(X = n) = pⁿ ; $P (X = 1) = n p (1 - p)^{n - 1}$ P(X = 1) = np(1 - p)ⁿ⁻¹ ; $P (X = n - 1) = n p^{n - 1} (1 - p)$ P(X = n - 1) = npⁿ⁻¹(1 - p) ; $P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ P(X ≥ 1) = 1 - (1 - p)ⁿ.

Propriété — Espérance (admise). Si $X$ X suit $B (n; p)$ mathcal B(n ;p), alors $E (X) = n p$ E(X) = np.

Exemple — Contrôle qualité. $5 %$ 5 % des pièces d'une production sont défectueuses. On prélève $8$ 8 pièces (production assez grande pour assimiler le prélèvement à des tirages avec remise). Le nombre $X$ X de pièces défectueuses suit $B (8; 0, 05)$ mathcal B(8 ;0,05).

Aucune défectueuse : $P (X = 0) = 0, 9 5^{8} \approx 0, 663$ P(X = 0) = 0,95⁸ ≈ 0,663.
Au moins une : $P (X \geq 1) = 1 - 0, 9 5^{8} \approx 0, 337$ P(X ≥ 1) = 1 - 0,95⁸ ≈ 0,337.
Au plus une : $P (X \leq 1) = 0, 9 5^{8} + 8 \times 0, 05 \times 0, 9 5^{7} \approx 0, 943$ P(X ≤ 1) = 0,95⁸ + 8 × 0,05 × 0,95⁷ ≈ 0,943.
En moyenne : $E (X) = 8 \times 0, 05 = 0, 4$ E(X) = 8 × 0,05 = 0,4 pièce défectueuse par prélèvement.

Exemple — $B (10; 0, 3)$ mathcal B(10 ;0,3). $P (X = 3) = (3 10) \times 0, 3^{3} \times 0, 7^{7} = 120 \times 0, 027 \times 0, 7^{7} \approx 0, 267$ P(X = 3) = C(10, 3) × 0,3³ × 0,7⁷ = 120 × 0,027 × 0,7⁷ ≈ 0,267 ; $E (X) = 3$ E(X) = 3.

Diagramme en bâtons de la loi $B (10; 0, 3)$ mathcal B(10 ;0,3) : les valeurs les plus probables entourent l'espérance $n p = 3$ np = 3.

Algorithmes

Exemple — Triangle de Pascal.

def pascal(n):
    ligne = [1]
    for i in range(n):
        nouvelle = [1]
        for k in range(1, len(ligne)):
            nouvelle.append(ligne[k - 1] + ligne[k])
        nouvelle.append(1)
        ligne = nouvelle
    return ligne

print(pascal(10))   # [1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1]

Exemple — Loi et espérance.

def loi_binomiale(n, p):
    c = pascal(n)
    return [c[k] * p**k * (1 - p)**(n - k) for k in range(n + 1)]

def esperance(valeurs, probas):
    e = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        e = e + valeurs[i] * probas[i]
    return e

L = loi_binomiale(10, 0.3)
print(esperance(list(range(11)), L))   # 3.0 (aux arrondis près)

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Oublier le coefficient binomial : $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ p^(k)(1 - p)^(n-k) n'est la probabilité que d'un seul chemin.
Utiliser la loi binomiale pour des tirages sans remise dans un petit lot (épreuves non indépendantes).
Calculer « au moins un » terme à terme au lieu de passer par $1 - P (X = 0)$ 1 - P(X = 0).
Confondre $P (X \leq 1)$ P(X ≤ 1) et $P (X < 1) = P (X = 0)$ P(X < 1) = P(X = 0).

Fiche de synthèse

Espérance	$E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ E(X) = Σ xᵢpᵢ
Coefficient binomial	$(k n)$ binom nk : nombre de chemins à $k$ k succès ; $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ binom nk = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
Loi binomiale	$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ P(X = k) = binom nk p^(k)(1 - p)^(n-k)
Cas utiles	$P (X = 0) = (1 - p)^{n}$ P(X = 0) = (1 - p)ⁿ ; $P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ P(X ≥ 1) = 1 - (1 - p)ⁿ
Espérance binomiale	$E (X) = n p$ E(X) = np

Exercices d'application

Exercice 1 – Triangle de Pascal

Compléter les lignes $n = 7$ n = 7 et $n = 8$ n = 8 du triangle de Pascal. En déduire $(2 8)$ binom82 et $(5 8)$ binom85.

Exercice 2 – QCM

Un QCM comporte $4$ 4 questions ; chacune propose $4$ 4 réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard. Quelle est la loi du nombre $X$ X de bonnes réponses ? Calculer $P (X = 2)$ P(X = 2), $P (X \geq 1)$ P(X ≥ 1) et $E (X)$ E(X).

Exercice 3 – Lampes

Une lampe tombe en panne avant $1000$ 1 000 heures avec la probabilité $0, 1$ 0,1, indépendamment des autres. Un luminaire comporte $6$ 6 lampes. Calculer la probabilité qu'aucune ne tombe en panne avant $1000$ 1 000 heures, puis qu'exactement une tombe en panne.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $n = 7$ n = 7 : $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. $n = 8$ n = 8 : $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$ 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Donc $(2 8) = 28$ binom82 = 28 et $(5 8) = 56$ binom85 = 56.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $X$ X suit $B (4; 0, 25)$ mathcal B(4 ;0,25). $P (X = 2) = 6 \times 0, 2 5^{2} \times 0, 7 5^{2} \approx 0, 211$ P(X = 2) = 6 × 0,25² × 0,75² ≈ 0,211 ; $P (X \geq 1) = 1 - 0, 7 5^{4} \approx 0, 684$ P(X ≥ 1) = 1 - 0,75⁴ ≈ 0,684 ; $E (X) = 4 \times 0, 25 = 1$ E(X) = 4 × 0,25 = 1.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $X$ X suit $B (6; 0, 1)$ mathcal B(6 ;0,1). $P (X = 0) = 0, 9^{6} \approx 0, 531$ P(X = 0) = 0,9⁶ ≈ 0,531 ; $P (X = 1) = 6 \times 0, 1 \times 0, 9^{5} \approx 0, 354$ P(X = 1) = 6 × 0,1 × 0,9⁵ ≈ 0,354.

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Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Triangle de Pascal, loi binomiale et espérance

Plaquette 2 – Variables aléatoires : loi de probabilité et espérance

Plaquette 3 – Schéma de Bernoulli et triangle de Pascal : compter les chemins

Plaquette 4 – Au moins, au plus, entre : cumuls et seuils

Plaquette 5 – Problèmes contextualisés : modéliser puis décider

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