Probabilités conditionnelles en Terminale STI2D

Probabilités conditionnelles en Terminale STI2D : cours complet

Arbres pondérés

Définition — Probabilité conditionnelle. Pour $P(A)\ne 0$P(A) ≠ 0 : $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A), d'où $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).

Propriété — Règles des arbres.

• Les branches issues d'un même nœud totalisent $1$1.
• Une branche du second niveau porte une probabilité conditionnelle : celle de l'événement au bout de la branche, sachant l'événement d'où elle part.
• Probabilité d'un chemin : produit des branches (c'est $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$P(A ∩ B) = P(A)P_A(B)).
• Probabilité d'un événement atteint par plusieurs chemins : somme des chemins.

Formule des probabilités totales

Définition — Partition de l'univers. Des événements $A_1$A₁, $A_2$A₂, $A_3$A₃ de probabilités non nulles forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et si l'un d'eux est toujours réalisé. Exemple : $A$A et $\overline{A}$A̅.

Théorème — Formule des probabilités totales. Si $A_1$A₁, $A_2$A₂, $A_3$A₃ forment une partition de l'univers, alors pour tout événement $B$B : $$P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+P(A_2)P_{A_2}(B)+P(A_3)P_{A_3}(B)$$P(B) = P(A₁)P_A₁(B) + P(A₂)P_A₂(B) + P(A₃)P_A₃(B) Avec deux événements : $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$P(B) = P(A)P_A(B) + P(A̅)P_A̅(B).

Démonstration. Les événements $A_1\cap B$A₁ ∩ B, $A_2\cap B$A₂ ∩ B, $A_3\cap B$A₃ ∩ B sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $B$B : donc $P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+P(A_3\cap B)$P(B) = P(A₁ ∩ B) + P(A₂ ∩ B) + P(A₃ ∩ B), et chaque terme vaut $P(A_i)P_{A_i}(B)$P(Aᵢ)P_Aᵢ(B).

Exemple — Trois fournisseurs. Une entreprise achète $50\%$50 % de ses composants au fournisseur $F_1$F₁, $30\%$30 % à $F_2$F₂ et $20\%$20 % à $F_3$F₃ ; les taux de composants défectueux sont $2\%$2 %, $4\%$4 % et $5\%$5 %.

$F_1$F₁, $F_2$F₂, $F_3$F₃ forment une partition : $P(D)=0,01+0,012+0,01=0,032$P(D) = 0,01 + 0,012 + 0,01 = 0,032. Un composant sur $31$31 environ est défectueux.

Méthode — Inverser le conditionnement. Pour obtenir $P_B(A)$P_B(A) quand l'arbre donne $P_A(B)$P_A(B) : $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B), avec $P(A\cap B)$P(A ∩ B) lu sur un chemin et $P(B)$P(B) obtenu par les probabilités totales.

Exemple. Un composant est défectueux : il provient de $F_3$F₃ avec la probabilité $P_D(F_3)=\frac{0,01}{0,032}=0,3125$P_D(F₃) = 0,01/0,032 = 0,312 5. Bien que $F_3$F₃ ne fournisse que $20\%$20 % des composants, il est à l'origine de plus de $31\%$31 % des défauts.

Indépendance (rappel)

Propriété — Événements indépendants. Pour $P(A)\ne 0$P(A) ≠ 0 : $A$A et $B$B sont indépendants si $P_A(B)=P(B)$P_A(B) = P(B), ce qui équivaut à $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Sur un arbre, les branches du second niveau portent alors les mêmes probabilités quel que soit le premier résultat.

Exemple. Dans l'exemple, $P_{F_1}(D)=0,02\ne P(D)=0,032$P_F₁(D) = 0,02 ≠ P(D) = 0,032 : $D$D et $F_1$F₁ ne sont pas indépendants.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Mettre $P(A\cap B)$P(A ∩ B) sur une branche à la place de $P_A(B)$P_A(B).
• Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales.
• Confondre $P_A(B)$P_A(B) et $P_B(A)$P_B(A).
• Appliquer la formule avec des événements qui ne forment pas une partition (qui se chevauchent ou ne couvrent pas tout).

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Deux ateliers

$70\%$70 % des pièces sortent de l'atelier $A$A, les autres de l'atelier $B$B. $3\%$3 % des pièces de $A$A et $6\%$6 % de celles de $B$B sont défectueuses. Construire l'arbre et calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.

Exercice 2 – Inverser

Avec l'exercice 1, une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'atelier $B$B ?

Exercice 3 – Trois modes de transport

Un salarié vient au travail en voiture ($40\%$40 %), en transports en commun ($45\%$45 %) ou à vélo ($15\%$15 %). Il est en retard avec la probabilité $0,1$0,1 en voiture, $0,05$0,05 en transports et $0,02$0,02 à vélo. Calculer la probabilité qu'il soit en retard.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $P(D)=0,7\times 0,03+0,3\times 0,06=0,021+0,018=0,039$P(D) = 0,7 × 0,03 + 0,3 × 0,06 = 0,021 + 0,018 = 0,039.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $P_D(B)=\frac{0,018}{0,039}\approx 0,46$P_D(B) = 0,018/0,039 ≈ 0,46.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $P(R)=0,4\times 0,1+0,45\times 0,05+0,15\times 0,02=0,04+0,0225+0,003=0,0655$P(R) = 0,4 × 0,1 + 0,45 × 0,05 + 0,15 × 0,02 = 0,04 + 0,022 5 + 0,003 = 0,065 5.