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Exercices corrigés : Probabilités conditionnelles — Seconde

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Probabilités conditionnelles

Niveau: Seconde
Chapitre: Probabilités conditionnelles
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

Mis à jour le 15 octobre 2026

La probabilité de $B$ B sachant $A$ A, notée $P_{A} (B)$ P_A(B), est la probabilité de $B$ B quand on sait que $A$ A est réalisé. Ces 20 exercices corrigés la calculent de trois façons : en comptant des issues équiprobables, dans un tableau croisé, et sur un arbre pondéré, en multipliant le long d'un chemin. Ils insistent sur le piège central du chapitre, la confusion entre $P_{A} (B)$ P_A(B) et $P_{B} (A)$ P_B(A), avec les faux positifs d'un test de dépistage, puis terminent par des classiques : le jeu des trois portes, les deux enfants, le sondage à réponse aléatoire.

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Exercice 1 — Un dé et une information

Application directe

On lance un dé équilibré.

On sait que le résultat est pair.

Quelle est la probabilité qu'il soit au moins égal à $4$ 4 ?

Compare avec la probabilité sans information.

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Correction détaillée

1
Les six issues sont équiprobables : $P_{A} (B) = \frac{Card ( A \cap B )}{Card ( A )}$ P_A(B) = (Card (A ∩ B))/(Card (A)).
2
$A$ A : « pair » $= {2; 4; 6}$ = {2 ;4 ;6} ; $B$ B : « au moins 4 » $= {4; 5; 6}$ = {4 ;5 ;6} ; $A \cap B = {4; 6}$ A ∩ B = {4 ;6}.
3
$P_{A} (B) = \frac{2}{3}$ P_A(B) = 2/3.
4
Sans information, $P (B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ P(B) = 3/6 = 1/2 : savoir que le résultat est pair rend $B$ B plus probable.

Réponse :

P_{A} (B) = \frac{2}{3}

P_A(B) = 2/3 (au lieu de

\frac{1}{2}

1/2).

Exercice 2 — As et piques

Application directe

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ 32 cartes ( $4$ 4 couleurs de $8$ 8 cartes, un as par couleur).

Calcule $P_{pique} (as)$ P_pique( as ) et $P_{as} (pique)$ P_as( pique ).

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Correction détaillée

1
Parmi les $8$ 8 piques, il y a un as : $P_{pique} (as) = \frac{1}{8}$ P_pique( as ) = 1/8.
2
Parmi les $4$ 4 as, il y a un pique : $P_{as} (pique) = \frac{1}{4}$ P_as( pique ) = 1/4.
3
Les deux probabilités conditionnelles n'ont pas la même population de référence : elles sont différentes.

Réponse :

\frac{1}{8}

1/8 et

\frac{1}{4}

1/4.

Exercice 3 — Appliquer la définition

Application directe

On sait que $P (A) = 0, 5$ P(A) = 0,5 et $P (A \cap B) = 0, 2$ P(A ∩ B) = 0,2.

Calcule $P_{A} (B)$ P_A(B) et $P_{A} (\overline{B})$ P_A(B̅).

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Correction détaillée

1
Définition : $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) = 0,2/0,5 = 0,4.
2
Sachant $A$ A, $B$ B et $\overline{B}$ B̅ se partagent les issues : $P_{A} (\overline{B}) = 1 - 0, 4 = 0, 6$ P_A(B̅) = 1 - 0,4 = 0,6.

Réponse :

0, 4

0,4 et

0, 6

0,6.

Exercice 4 — Probabilité d'une intersection

Application directe

$25 %$ 25 % des élèves d'un lycée sont internes, et $80 %$ 80 % des internes rentrent chez eux le week-end.

On choisit un élève au hasard.

Quelle est la probabilité qu'il soit interne et rentre chez lui le week-end ?

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Correction détaillée

1
On traduit : $P (I) = 0, 25$ P(I) = 0,25 et $P_{I} (W) = 0, 8$ P_I(W) = 0,8 (« parmi les internes »).
2
$P (I \cap W) = P (I) \times P_{I} (W) = 0, 25 \times 0, 8 = 0, 2$ P(I ∩ W) = P(I) × P_I(W) = 0,25 × 0,8 = 0,2.
3
$20 %$ 20 % des élèves sont des internes qui rentrent le week-end.

Réponse :

0, 2

0,2.

Rappel de cours : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) : c'est un pourcentage de pourcentage.

Exercice 5 — Avec un tableau croisé

Application directe

On choisit au hasard un élève parmi $300$ 300 : $Maths SES SVT Total Filles 485448150 Gar \overset{c}{¸} ons 723642150 Total 1209090300$ Filles Garçons Total ; Maths 48 72 120 ; SES 54 36 90 ; SVT 48 42 90 ; Total 150 150 300On note $F$ F : « c'est une fille » et $S$ S : « il suit SES ».

Calcule $P (S)$ P(S), $P (F \cap S)$ P(F ∩ S), $P_{F} (S)$ P_F(S) et $P_{S} (F)$ P_S(F).

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Correction détaillée

1
Tirage équiprobable : chaque probabilité est une fréquence du tableau.
2
$P (S) = \frac{90}{300} = 0, 3$ P(S) = 90/300 = 0,3 ; $P (F \cap S) = \frac{54}{300} = 0, 18$ P(F ∩ S) = 54/300 = 0,18.
3
$P_{F} (S) = \frac{54}{150} = 0, 36$ P_F(S) = 54/150 = 0,36 (on lit la colonne des filles).
4
$P_{S} (F) = \frac{54}{90} = 0, 6$ P_S(F) = 54/90 = 0,6 (on lit la ligne SES).

Réponse :

0, 3

0,3 ;

0, 18

0,18 ;

0, 36

0,36 ;

0, 6

0,6.

Exercice 6 — Tirages sans remise

À maîtriser

Une urne contient $4$ 4 boules rouges et $2$ 2 bleues.

On tire successivement deux boules, sans remise.

1.Calcule la probabilité de tirer deux rouges.
2.Calcule la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.

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Correction détaillée

1
Arbre : $P (R_{1}) = \frac{4}{6}$ P(R₁) = 4/6 ; après une rouge, il reste $3$ 3 rouges sur $5$ 5 : $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{3}{5}$ P_R₁(R₂) = 3/5.
2
$P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ P(R₁ ∩ R₂) = 4/6 × 3/5 = 12/30 = 2/5.
3
Deux bleues : $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$ 2/6 × 1/5 = 1/15.
4
Même couleur (deux chemins) : $\frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{1}{15} = \frac{7}{15}$ 2/5 + 1/15 = 6/15 + 1/15 = 7/15.

Réponse :

\frac{2}{5}

2/5 ·

\frac{7}{15}

7/15.

Exercice 7 — Pluie et retard

À maîtriser

Il pleut un jour sur quatre.

Les jours de pluie, le bus est en retard avec la probabilité $0, 4$ 0,4 ; les autres jours, avec la probabilité $0, 08$ 0,08.

1.Calcule la probabilité que le bus soit en retard.
2.Le bus est en retard : quelle est la probabilité qu'il pleuve ?

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Correction détaillée

1
Arbre : $P (P) = 0, 25$ P(P) = 0,25, $P_{P} (R) = 0, 4$ P_P(R) = 0,4 ; $P (\overline{P}) = 0, 75$ P(P̅) = 0,75, $P_{\overline{P}} (R) = 0, 08$ P_P̅(R) = 0,08.
2
Deux chemins mènent à $R$ R : $P (R) = 0, 25 \times 0, 4 + 0, 75 \times 0, 08 = 0, 1 + 0, 06 = 0, 16$ P(R) = 0,25 × 0,4 + 0,75 × 0,08 = 0,1 + 0,06 = 0,16.
3
$P_{R} (P) = \frac{P ( P \cap R )}{P ( R )} = \frac{0 , 1}{0 , 16} = 0, 625$ P_R(P) = (P(P ∩ R))/P(R) = 0,1/0,16 = 0,625.

Réponse :

0, 16

0,16 ·

0, 625

0,625.

Exercice 8 — Compléter un arbre

À maîtriser

Dans un arbre pondéré, on lit $P (A) = 0, 35$ P(A) = 0,35, $P_{A} (B) = 0, 6$ P_A(B) = 0,6 et $P_{\overline{A}} (B) = 0, 2$ P_A̅(B) = 0,2.

Calcule les probabilités des quatre chemins et vérifie que leur somme vaut $1$ 1.

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Correction détaillée

1
Branches complémentaires : $P (\overline{A}) = 0, 65$ P(A̅) = 0,65, $P_{A} (\overline{B}) = 0, 4$ P_A(B̅) = 0,4, $P_{\overline{A}} (\overline{B}) = 0, 8$ P_A̅(B̅) = 0,8.
2
$P (A \cap B) = 0, 35 \times 0, 6 = 0, 21$ P(A ∩ B) = 0,35 × 0,6 = 0,21 ; $P (A \cap \overline{B}) = 0, 35 \times 0, 4 = 0, 14$ P(A ∩ B̅) = 0,35 × 0,4 = 0,14.
3
$P (\overline{A} \cap B) = 0, 65 \times 0, 2 = 0, 13$ P(A̅ ∩ B) = 0,65 × 0,2 = 0,13 ; $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 65 \times 0, 8 = 0, 52$ P(A̅ ∩ B̅) = 0,65 × 0,8 = 0,52.
4
Contrôle : $0, 21 + 0, 14 + 0, 13 + 0, 52 = 1$ 0,21 + 0,14 + 0,13 + 0,52 = 1.

Réponse :

0, 21

0,21 ;

0, 14

0,14 ;

0, 13

0,13 ;

0, 52

0,52.

Exercice 9 — Traduire des phrases

À maîtriser

On choisit un client au hasard ; $J$ J : « il a moins de $25$ 25 ans », $T$ T : « il paie par téléphone ».

Traduis : a) « $30 %$ 30 % des clients ont moins de $25$ 25 ans » ; b) « la moitié des moins de $25$ 25 ans paient par téléphone » ; c) « $15 %$ 15 % des clients sont des jeunes qui paient par téléphone ».

Vérifie la cohérence.

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Correction détaillée

1
a) $P (J) = 0, 3$ P(J) = 0,3 ; b) $P_{J} (T) = 0, 5$ P_J(T) = 0,5 (« parmi les moins de 25 ans ») ; c) $P (J \cap T) = 0, 15$ P(J ∩ T) = 0,15.
2
Cohérence : $P (J) \times P_{J} (T) = 0, 3 \times 0, 5 = 0, 15 = P (J \cap T)$ P(J) × P_J(T) = 0,3 × 0,5 = 0,15 = P(J ∩ T).

Réponse :

P (J) = 0, 3

P(J) = 0,3,

P_{J} (T) = 0, 5

P_J(T) = 0,5,

P (J \cap T) = 0, 15

P(J ∩ T) = 0,15 : cohérent.

Exercice 10 — Ne pas confondre

À maîtriser

Dans une entreprise, $P (C) = 0, 2$ P(C) = 0,2 (« cadre »), $P_{C} (V) = 0, 75$ P_C(V) = 0,75 (« voiture de fonction ») et $P (V) = 0, 25$ P(V) = 0,25.

Un employé affirme : « $75 %$ 75 % des voitures de fonction sont attribuées à des cadres ».

A-t-il raison ?

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Correction détaillée

1
$P_{C} (V) = 0, 75$ P_C(V) = 0,75 signifie : parmi les cadres, $75 %$ 75 % ont une voiture de fonction.
2
L'employé parle de $P_{V} (C)$ P_V(C).
On calcule $P (C \cap V) = 0, 2 \times 0, 75 = 0, 15$ P(C ∩ V) = 0,2 × 0,75 = 0,15, puis $P_{V} (C) = \frac{0 , 15}{0 , 25} = 0, 6$ P_V(C) = 0,15/0,25 = 0,6.
3
Il a tort : $60 %$ 60 % des voitures de fonction sont attribuées à des cadres.

Réponse : Non :

P_{V} (C) = 0, 6

P_V(C) = 0,6.

Erreur fréquente : Confondre $P_{C} (V)$ P_C(V) et $P_{V} (C)$ P_V(C) : c'est l'erreur d'inversion du conditionnement.

Exercice 11 — Un dépistage

Type contrôle

Une maladie touche $0, 5 %$ 0,5 % de la population.

Un test a une sensibilité de $98 %$ 98 % et une spécificité de $97 %$ 97 %.

En raisonnant sur $100000$ 100 000 personnes, calcule la probabilité qu'une personne testée positive soit malade.

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Correction détaillée

1
Malades : $500$ 500, dont $0, 98 \times 500 = 490$ 0,98 × 500 = 490 positifs.
2
Sains : $99500$ 99 500, dont $3 %$ 3 % positifs à tort : $0, 03 \times 99500 = 2985$ 0,03 × 99 500 = 2 985.
3
Positifs : $490 + 2985 = 3475$ 490 + 2 985 = 3 475.
4
$P_{T} (M) = \frac{490}{3 475} \approx 0, 141$ P_T(M) = 490/(3 475) ≈ 0,141.
5
Seule une personne positive sur sept environ est malade : la maladie est rare, les faux positifs sont nombreux.

Réponse : Environ

0, 141

0,141.

Erreur fréquente : Répondre $98 %$ 98 % : c'est $P_{M} (T)$ P_M(T), pas $P_{T} (M)$ P_T(M).

Exercice 12 — L'effet de la prévalence

Type contrôle

Le même test (sensibilité $98 %$ 98 %, spécificité $97 %$ 97 %) est utilisé chez des patients qui ont des symptômes, parmi lesquels $20 %$ 20 % sont malades.

Calcule $P_{T} (M)$ P_T(M) sur $10000$ 10 000 patients et compare avec l'exercice précédent.

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1
Malades : $2000$ 2 000, dont $1960$ 1 960 positifs ; sains : $8000$ 8 000, dont $0, 03 \times 8000 = 240$ 0,03 × 8 000 = 240 positifs.
2
$P_{T} (M) = \frac{1 960}{2 200} \approx 0, 891$ P_T(M) = (1 960)/(2 200) ≈ 0,891.
3
Dans cette population où la maladie est fréquente, un test positif est fiable à environ $89 %$ 89 %, contre $14 %$ 14 % en dépistage général.

Réponse : Environ

0, 891

0,891.

Exercice 13 — Réponse au hasard

Type contrôle

À une question de QCM à $5$ 5 propositions, un élève connaît la réponse avec la probabilité $0, 5$ 0,5 ; sinon il répond au hasard.

Il a répondu juste : quelle est la probabilité qu'il ait connu la réponse ?

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Correction détaillée

1
Arbre : $P (C) = 0, 5$ P(C) = 0,5, $P_{C} (J) = 1$ P_C(J) = 1 ; $P (\overline{C}) = 0, 5$ P(C̅) = 0,5, $P_{\overline{C}} (J) = \frac{1}{5} = 0, 2$ P_C̅(J) = 1/5 = 0,2.
2
$P (J) = 0, 5 \times 1 + 0, 5 \times 0, 2 = 0, 6$ P(J) = 0,5 × 1 + 0,5 × 0,2 = 0,6.
3
$P_{J} (C) = \frac{0 , 5}{0 , 6} = \frac{5}{6} \approx 0, 833$ P_J(C) = 0,5/0,6 = 5/6 ≈ 0,833.

Réponse :

\frac{5}{6}

5/6.

Exercice 14 — Trois machines

Type contrôle

Trois machines produisent respectivement $45 %$ 45 %, $35 %$ 35 % et $20 %$ 20 % des pièces, avec des taux de défaut de $1 %$ 1 %, $2 %$ 2 % et $4 %$ 4 %.

Une pièce est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de la troisième machine ?

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Correction détaillée

1
Chemins vers $D$ D : $0, 45 \times 0, 01 = 0, 0045$ 0,45 × 0,01 = 0,004 5 ; $0, 35 \times 0, 02 = 0, 007$ 0,35 × 0,02 = 0,007 ; $0, 2 \times 0, 04 = 0, 008$ 0,2 × 0,04 = 0,008.
2
$P (D) = 0, 0045 + 0, 007 + 0, 008 = 0, 0195$ P(D) = 0,004 5 + 0,007 + 0,008 = 0,019 5.
3
$P_{D} (M_{3}) = \frac{0 , 008}{0 , 019 5} \approx 0, 41$ P_D(M₃) = 0,008/(0,019 5) ≈ 0,41.
4
La troisième machine fait $20 %$ 20 % des pièces mais environ $41 %$ 41 % des défauts.

Réponse : Environ

0, 41

0,41.

Exercice 15 — Choisir un modèle

Type contrôle

On lance $2000$ 2 000 fois une pièce de forme irrégulière : elle tombe $1240$ 1 240 fois sur la face A.

Quel modèle proposer ?

Avec ce modèle, et si deux lancers ne s'influencent pas, quelle est la probabilité d'obtenir deux fois la face A ?

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Correction détaillée

1
Rien ne justifie l'équiprobabilité.
D'après la loi des grands nombres, la fréquence observée sur $2000$ 2 000 lancers est proche de la probabilité : $P (A) \approx \frac{1 240}{2 000} = 0, 62$ P(A) ≈ (1 240)/(2 000) = 0,62.
2
Modèle : $P (A) = 0, 62$ P(A) = 0,62 et $P (B) = 0, 38$ P(B) = 0,38.
3
Deux lancers indépendants : $P (AA) = 0, 62 \times 0, 62 = 0, 3844$ P(AA) = 0,62 × 0,62 = 0,384 4.

Réponse :

P (A) = 0, 62

P(A) = 0,62 ;

P (AA) = 0, 3844

P(AA) = 0,384 4.

Exercice 16 — Simuler en Python

Type contrôle

Un programme Python simule $n$ n lancers de deux dés équilibrés avec la fonction randint.

Il compte dans une variable $a$ a les lancers où le premier dé donne $6$ 6, et dans une variable $b$ b ceux, parmi ces lancers-là seulement, où la somme des deux dés est au moins $10$ 10.

Il renvoie $\frac{b}{a}$ b/a.

Quelle probabilité ce programme estime-t-il ?

Calcule sa valeur exacte.

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Correction détaillée

1
Le compteur $a$ a compte les lancers où le premier dé donne $6$ 6 ; $b$ b compte, parmi eux seulement, ceux dont la somme est au moins $10$ 10.
2
La fonction estime $P_{D_{1} = 6} (S ⩾ 10)$ P_D₁ = 6(S ≥ 10).
3
Si le premier dé donne $6$ 6, la somme est au moins $10$ 10 quand le second donne $4$ 4, $5$ 5 ou $6$ 6 : $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ P = 3/6 = 1/2.
4
Pour $n$ n grand, la fonction renvoie presque toujours une valeur proche de $0, 5$ 0,5.

Réponse :

P_{D_{1} = 6} (S ⩾ 10) = \frac{1}{2}

P_D₁ = 6(S ≥ 10) = 1/2.

Exercice 17 — Le jeu des trois portes

Approfondissement / défi

Une voiture est cachée derrière l'une de trois portes.

Le candidat choisit une porte ; l'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte vide et propose de changer.

Quelle est la probabilité de gagner en changeant ?

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Correction détaillée

1
Le premier choix est bon avec la probabilité $\frac{1}{3}$ 1/3 ; dans ce cas, changer fait perdre.
2
Il est mauvais avec la probabilité $\frac{2}{3}$ 2/3 ; l'animateur ouvre alors la seule porte vide restante, et changer fait gagner à coup sûr.
3
$P (gagner en changeant) = \frac{1}{3} \times 0 + \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$ P( gagner en changeant ) = 1/3 × 0 + 2/3 × 1 = 2/3.
4
Changer double les chances de gagner ( $\frac{2}{3}$ 2/3 contre $\frac{1}{3}$ 1/3).

Réponse :

\frac{2}{3}

2/3.

Exercice 18 — Deux enfants

Approfondissement / défi

Une famille a deux enfants ; on suppose les cas GG, GF, FG, FF équiprobables (aîné puis cadet).

On sait qu'elle a au moins une fille.

Quelle est la probabilité qu'elle ait deux filles ?

Et si l'on sait que la cadette est une fille ?

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Correction détaillée

1
« Au moins une fille » $= {GF; F G; F F}$ = {GF ;FG ;FF} : $3$ 3 cas, dont un seul avec deux filles.
$P = \frac{1}{3}$ P = 1/3.
2
« La cadette est une fille » $= {GF; F F}$ = {GF ;FF} : $2$ 2 cas, dont un avec deux filles.
$P = \frac{1}{2}$ P = 1/2.
3
Les deux informations ne réduisent pas l'univers de la même façon.

Réponse :

\frac{1}{3}

1/3 puis

\frac{1}{2}

1/2.

Exercice 19 — Sondage à réponse aléatoire

Approfondissement / défi

Pour une question délicate, chaque personne lance un dé en secret : si elle obtient $1$ 1 ou $2$ 2, elle répond « oui » quoi qu'il arrive ; sinon, elle répond honnêtement.

On note $p$ p la proportion de personnes concernées.

$45 %$ 45 % des réponses sont « oui ».

Estime $p$ p.

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Correction détaillée

1
Arbre : « $1$ 1 ou $2$ 2 » avec la probabilité $\frac{1}{3}$ 1/3, puis « oui » à coup sûr ; sinon ( $\frac{2}{3}$ 2/3), « oui » avec la probabilité $p$ p.
2
$P (oui) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{3} \times p = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} p$ P( oui ) = 1/3 × 1 + 2/3 × p = 1/3 + 2/3 p.
3
On égale à la fréquence observée : $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} p = 0, 45$ 1/3 + 2/3 p = 0,45, donc $\frac{2}{3} p = 0, 45 - \frac{1}{3} \approx 0, 1167$ 2/3 p = 0,45 - 1/3 ≈ 0,116 7 et $p \approx 0, 175$ p ≈ 0,175.
4
Environ $17, 5 %$ 17,5 % des personnes sont concernées, sans qu'aucune réponse individuelle ne trahisse personne.

Réponse :

p \approx 0, 175

p ≈ 0,175.

Exercice 20 — Une empreinte au tribunal

Approfondissement / défi

Une empreinte retrouvée sur une scène correspond à celle d'un suspect.

La probabilité qu'une personne innocente ait par hasard une empreinte correspondante est $\frac{1}{500 000}$ 1/(500 000).

La ville compte $2000000$ 2 000 000 d'habitants, dont le coupable.

Sans autre élément, quelle est la probabilité que le suspect soit coupable ?

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Correction détaillée

1
Parmi environ $2000000$ 2 000 000 d'innocents, environ $2000000 \times \frac{1}{500 000} = 4$ 2 000 000 × 1/(500 000) = 4 ont une empreinte correspondante.
2
Les personnes correspondantes sont donc environ $5$ 5 : le coupable et $4$ 4 innocents.
3
Sans autre élément, $P_{correspondance} (coupable) \approx \frac{1}{5} = 0, 2$ P_correspondance( coupable ) ≈ 1/5 = 0,2.
4
Dire « il n'y a qu'une chance sur $500000$ 500 000 qu'il soit innocent » confond $P_{innocent} (correspondance)$ P_innocent( correspondance ) et $P_{correspondance} (innocent)$ P_correspondance( innocent ), qui vaut environ $0, 8$ 0,8.

Réponse : Environ

0, 2

0,2.

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