Tableaux croisés en Seconde

Les tableaux croisés en seconde : cours complet

Le croisement de deux variables qualitatives permet d'analyser des données réelles : un fichier d'individus (une ligne par personne, une colonne par caractéristique) se résume en un tableau croisé d'effectifs, dans lequel on calcule des fréquences marginales et conditionnelles.

Variables qualitatives

Une variable est qualitative quand ses valeurs sont des catégories : nominale si elles n'ont pas d'ordre (profession, moyen de transport), ordinale si elles en ont un (niveau de diplôme, degré de satisfaction). Pour une variable ordinale, « au moins satisfait » a un sens.

Le tableau croisé d'effectifs

Exemple : $500$500 élèves selon leur niveau et leur moyen de transport.

• Une case compte les individus qui ont à la fois les deux caractéristiques : $90$90 élèves sont en seconde et prennent le bus.
• Les marges sont les totaux ; elles ont le même total, l'effectif $N=500$N = 500.
• Une case manquante se retrouve par différence avec sa marge.

Fréquences marginales

$$f(A)=\frac{\text{marge de }A}{N}$$f(A) = (marge de A)/N

Fréquence marginale des usagers du bus : $\frac{220}{500}=44\%$220/500 = 44 %. La fréquence d'une case se calcule aussi sur le total : $\frac{90}{500}=18\%$90/500 = 18 % des élèves sont en seconde et prennent le bus.

Fréquences conditionnelles

La fréquence conditionnelle de $B$B parmi $A$A se calcule dans la sous-population $A$A :

$$f_A(B)=\frac{\text{effectif de « }A\text{ et }B\text{ »}}{\text{effectif de }A}$$f_A(B) = (effectif de « A et B »)/(effectif de A)

• Parmi les élèves de seconde, proportion d'usagers du bus : $\frac{90}{180}=50\%$90/180 = 50 % (colonne « Seconde »).
• Parmi les usagers du bus, proportion d'élèves de seconde : $\frac{90}{220}\approx 40,9\%$90/220 ≈ 40,9 % (ligne « Bus »).

Les deux fréquences ont le même numérateur mais pas la même population de référence. Et la fréquence d'une case est un pourcentage de pourcentage :

$$f(A\text{ et }B)=f(A)\times f_A(B)$$f(A et B) = f(A) × f_A(B)

Comparer deux groupes

Pour savoir si une caractéristique dépend d'une autre, on compare des fréquences conditionnelles dans le même sens : parmi les terminales, $\frac{55}{150}\approx 36,7\%$55/150 ≈ 36,7 % viennent en voiture, contre $\frac{50}{180}\approx 27,8\%$50/180 ≈ 27,8 % des secondes. Comparer les effectifs bruts ($55$55 et $50$50) ne suffirait pas.

Compléter un tableau à partir de pourcentages

Méthode : effectif total (donné, ou $1000$1 000 / $10000$10 000 choisi) → marges → cases avec $\text{effectif}=\text{freˊquence}\times \text{sous-population}$effectif = fréquence × sous-population → différences → contrôle.

Exemple. Sur $2000$2 000 accidents, $30\%$30 % ont lieu la nuit ; $15\%$15 % des accidents de nuit et $8\%$8 % des accidents de jour sont graves. Nuit : $600$600 accidents dont $90$90 graves ; jour : $1400$1 400 dont $112$112 graves. Parmi les $202$202 accidents graves, la proportion d'accidents de nuit est $\frac{90}{202}\approx 44,6\%$90/202 ≈ 44,6 %, alors que la nuit ne représente que $30\%$30 % des accidents.

ET, OU, NON

• « $A$A ET $B$B » : une case du tableau.
• « $A$A OU $B$B » : $n(A\text{ ou }B)=n(A)+n(B)-n(A\text{ et }B)$n(A ou B) = n(A) + n(B) - n(A et B), pour ne pas compter deux fois.
• « NON $A$A » : $N-n(A)$N - n(A) ; « ni $A$A ni $B$B » est la négation de « $A$A ou $B$B ».

En Python, un filtre s'écrit avec and, or, not : niveau == "Seconde" and transport != "Bus".

Erreurs fréquentes à éviter

• Diviser par le total pour une fréquence conditionnelle.
• Inverser la population de référence : « $50\%$50 % des secondes prennent le bus » n'est pas « $50\%$50 % des usagers du bus sont en seconde ».
• Comparer des effectifs bruts de groupes de tailles différentes.
• Oublier de contrôler les marges après avoir complété un tableau.

FAQ — Les tableaux croisés en seconde

Quelle est la différence entre fréquence marginale et fréquence conditionnelle ?

La fréquence marginale se calcule sur toute la population ($\frac{\text{marge}}{N}$marge/N) ; la fréquence conditionnelle se calcule dans une sous-population (une ligne ou une colonne).

Comment savoir quel nombre mettre au dénominateur ?

C'est l'effectif de la population de référence, celle qui suit « parmi » ou « des » dans la phrase : « parmi les filles » → effectif des filles.

Peut-on additionner des fréquences conditionnelles ?

Seulement si elles portent sur la même sous-population : les fréquences d'une même colonne totalisent $100\%$100 %.

Qu'est-ce que le paradoxe de Simpson ?

Un groupe peut faire mieux dans chaque sous-groupe et moins bien au total, quand les groupes ne se répartissent pas de la même façon entre les sous-groupes. On compare alors à sous-groupe égal.