Probabilités conditionnelles en Seconde

Les probabilités conditionnelles en seconde : cours complet

Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité d'un événement quand on dispose d'une information : sachant que le résultat d'un dé est pair, sachant qu'un test est positif, sachant qu'un élève est en seconde… On la calcule en comptant, dans un tableau croisé ou sur un arbre pondéré.

Modèle et loi des grands nombres

Une loi de probabilité associe à chaque issue un nombre positif, la somme valant $1$1. L'équiprobabilité (dé « équilibré », tirage « au hasard ») est une hypothèse du modèle : elle ne se démontre pas. Dans ce cas,

$$P(A)=\frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega )}$$P(A) = (Card (A))/(Card (Ω))

Loi des grands nombres (version vulgarisée). Quand on répète un grand nombre $n$n de fois une expérience, la fréquence observée d'un événement est, sauf exception, proche de sa probabilité. Pour une punaise qui retombe $620$620 fois sur $1000$1 000 pointe en l'air, on choisit le modèle $P=0,62$P = 0,62.

Probabilité conditionnelle

Pour un événement $A$A de probabilité non nulle :

$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A)

Dans un tirage équiprobable : $P_A(B)=\frac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}$P_A(B) = (Card (A ∩ B))/(Card (A)).

Exemple. On lance un dé équilibré ; $A$A : « pair » $=\{2;4;6\}$= {2 ; 4 ; 6}, $B$B : « au moins 4 » $=\{4;5;6\}$= {4 ; 5 ; 6}. Alors $P_A(B)=\frac{2}{3}$P_A(B) = 2/3, alors que $P(B)=\frac{1}{2}$P(B) = 1/2 : l'information « pair » rend $B$B plus probable.

Probabilité de l'intersection :

$$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$$P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)

Avec un tableau croisé

Quand on choisit un individu au hasard dans une population, chaque probabilité est une fréquence du tableau : marge / total pour $P(A)$P(A), case / total pour $P(A\cap B)$P(A ∩ B), case / marge de $A$A pour $P_A(B)$P_A(B). Avec $500$500 élèves dont $180$180 en seconde, $220$220 usagers du bus et $90$90 à la fois : $P_S(B)=\frac{90}{180}=0,5$P_S(B) = 90/180 = 0,5 et $P_B(S)=\frac{90}{220}\approx 0,41$P_B(S) = 90/220 ≈ 0,41.

Arbres pondérés

• Les branches du premier niveau portent $P(A)$P(A) et $P(\overline{A})$P(A̅).
• Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles : $P_A(B)$P_A(B), $P_A(\overline{B})$P_A(B̅), $P_{\overline{A}}(B)$P_A̅(B)…
• Les branches issues d'un même nœud totalisent $1$1.
• Un chemin est une intersection : on multiplie le long du chemin.
• Un événement réalisé par plusieurs chemins : on additionne leurs probabilités.

Exemple. $60\%$60 % des pièces viennent de la machine $A$A, $40\%$40 % de $B$B ; $3\%$3 % des pièces de $A$A et $5\%$5 % de $B$B sont défectueuses. $P(A\cap D)=0,6\times 0,03=0,018$P(A ∩ D) = 0,6 × 0,03 = 0,018, $P(B\cap D)=0,4\times 0,05=0,02$P(B ∩ D) = 0,4 × 0,05 = 0,02, donc $P(D)=0,038$P(D) = 0,038 et $P_D(A)=\frac{0,018}{0,038}\approx 0,47$P_D(A) = 0,018/0,038 ≈ 0,47.

Faux positifs : ne pas inverser le conditionnement

Pour un test de dépistage d'une maladie $M$M : sensibilité $P_M(T)$P_M(T), spécificité $P_{\overline{M}}(\overline{T})$P_M̅(T̅). La personne testée positive veut connaître $P_T(M)$P_T(M), qui peut être très différente.

Exemple. Maladie touchant $2\%$2 % de la population, sensibilité $95\%$95 %, spécificité $90\%$90 %. Sur $10000$10 000 personnes : $200$200 malades dont $190$190 positifs ; $9800$9 800 sains dont $980$980 positifs à tort. Ainsi

$$P_T(M)=\frac{190}{1170}\approx 0,16$$P_T(M) = 190/(1 170) ≈ 0,16

Un positif sur six seulement est malade : la maladie est rare, les faux positifs sont nombreux.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $P_A(B)$P_A(B) et $P_B(A)$P_B(A) (sophisme du procureur).
• Confondre $P(A\cap B)$P(A ∩ B) et $P_A(B)$P_A(B) : la première se rapporte à tous les individus, la seconde aux individus de $A$A.
• Mettre une probabilité non conditionnelle sur une branche du second niveau.
• Additionner le long d'un chemin au lieu de multiplier.

FAQ — Les probabilités conditionnelles en seconde

Que veut dire « sachant que » ?

On sait que l'événement est réalisé : on ne regarde plus que les issues de cet événement, qui devient le nouvel univers.

Pourquoi multiplie-t-on le long d'un chemin ?

Parce que $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) : c'est un pourcentage de pourcentage. $60\%$60 % des pièces viennent de $A$A, et $3\%$3 % d'entre elles sont défectueuses : $3\%$3 % de $60\%$60 %.

Un test fiable à 95 % se trompe-t-il 5 fois sur 100 ?

Pas forcément pour la personne testée : si la maladie est rare, la probabilité d'être malade quand le test est positif peut être bien inférieure à $95\%$95 %.

Faut-il connaître la formule des probabilités totales ?

Non en seconde : on lit la probabilité d'un événement sur l'arbre en additionnant les chemins qui y mènent. La formule sera énoncée en première.