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Exercices types · Terminale spé maths

L'écart-type — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

1

Écart-type à partir de la variance

Niveau 1 · Application directe
On sait que V(X) = 0,49. Donner l'écart-type de X.
Voir la correction
  1. 1.
    On applique σ(X) = √(V(X)).
    → Écart-type
  2. 2.
    σ(X) = √(0,49) = 0,7.
Réponse : σ(X) = 0,7.
2

Écart-type d'une loi complète

Niveau 2 · Méthode complète
Soit X de loi P(X=1)=0,2, P(X=2)=0,5, P(X=3)=0,3. Calculer l'écart-type de X.
Voir la correction
  1. 1.
    Espérance : E(X) = 1× 0,2 + 2× 0,5 + 3× 0,3 = 2,1. Moyenne des carrés : E(X²) = 1× 0,2 + 4× 0,5 + 9× 0,3 = 4,9.
  2. 2.
    Variance (König-Huygens) : V(X) = 4,9 - 2,1² = 4,9 - 4,41 = 0,49.
  3. 3.
    Écart-type : σ(X) = √(0,49) = 0,7.
    → Écart-type
Réponse : σ(X) = 0,7.
3

Écart-type d'une loi binomiale

Niveau 2 · Méthode complète
Soit X ~ B (10 ; 0,3). Calculer son écart-type.
Voir la correction
  1. 1.
    Variance d'une loi binomiale : V(X) = np(1-p) = 10× 0,3× 0,7 = 2,1.
  2. 2.
    Écart-type : σ(X) = √(2,1) ≈ 1,45.
    → Écart-type
Réponse : σ(X) = √(2,1) ≈ 1,45.
4

Écart-type d'une transformation affine

Niveau 2 · Méthode complète
Une variable X a pour écart-type σ(X) = 0,7. On pose Y = 2X + 3. Calculer σ(Y).
Voir la correction
  1. 1.
    On applique σ(aX + b) = |a| σ(X) : la constante +3 disparaît.
    → Écart-type d'une transformation aX + b
  2. 2.
    σ(Y) = |2|× 0,7 = 1,4.
Réponse : σ(Y) = 1,4.
5

De la variance à l'écart-type

Niveau 1 · Application directe
Une variable aléatoire a pour variance V(X) = 9. Donner son écart-type.
Voir la correction
  1. 1.
    σ(X) = √(V(X)) = √(9).
    → Écart-type
  2. 2.
    σ(X) = 3.
Réponse : σ(X) = 3.
6

Valeur approchée

Niveau 2 · Méthode complète
Si V(X) = 2,5, donner une valeur approchée de l'écart-type au centième.
Voir la correction
  1. 1.
    σ(X) = √(2,5).
    → Écart-type
  2. 2.
    σ(X) ≈ 1,58.
Réponse : σ(X) ≈ 1,58.
7

Loi binomiale

Niveau 2 · Méthode complète
Pour X ~ B (50 ;0,2), calculer l'écart-type.
Voir la correction
  1. 1.
    V(X) = np(1-p) = 50× 0,2× 0,8 = 8.
  2. 2.
    σ(X) = √(8) ≈ 2,83.
    → Écart-type
Réponse : σ(X) ≈ 2,83.
8

Comparer deux dispersions

Niveau 3 · Type contrôle
Deux jeux ont pour gains des variables d'écarts-types σ_A = 1,2 et σ_B = 3,5, pour la même espérance. Lequel est le plus risqué ?
Voir la correction
  1. 1.
    Un écart-type plus grand traduit des gains plus dispersés autour de l'espérance.
  2. 2.
    Le jeu B (σ = 3,5) est le plus risqué.
Réponse : Le jeu B.
9

À partir d'une loi

Niveau 3 · Type contrôle
Soit X de loi P(X=0)=0,2, P(X=1)=0,5, P(X=2)=0,3. Calculer V(X) puis σ(X).
Voir la correction
  1. 1.
    E(X)=1,1 ; E(X²)=0+0,5+4× 0,3=1,7.
  2. 2.
    V(X)=1,7-1,21=0,49, σ(X)=√(0,49)=0,7.
    → Écart-type
Réponse : V(X)=0,49, σ(X)=0,7.

Méthode utilisée : König-Huygens puis racine carrée.

Erreur fréquente : Oublier de prendre la racine pour l'écart-type.

10

Loi binomiale (type bac)

Niveau 4 · Type brevet/bac
Soit X~ B (100 ;0,5). Calculer l'écart-type σ(X).
Voir la correction
  1. 1.
    V(X)=np(1-p)=100× 0,5× 0,5=25.
  2. 2.
    σ(X)=√(25)=5.
    → Écart-type
Réponse : σ(X)=5.

Méthode utilisée : V(X)=np(1-p) puis racine.

Erreur fréquente : Donner 25 (la variance) comme écart-type.

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