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Formule · Terminale spé maths

Formule : Écart-type

L'écart-type est la racine carrée de la variance.

σ(X) = √(V(X))

Ce que dit la formule

L'écart-type se déduit immédiatement de la variance par une racine carrée. Comme la variance est toujours positive ou nulle, cette racine existe toujours.

Son intérêt : il s'exprime dans la même unité que X (des euros, des points…), alors que la variance est dans cette unité au carré. On l'utilise donc pour interpréter concrètement la dispersion.

L'écart-type mesure la dispersion autour de l'espérance : plus il est grand, plus les valeurs s'éloignent de la moyenne. Un écart-type nul signifie que la variable est constante.

C'est l'indicateur qu'on interprète, précisément parce qu'il partage l'unité de X. Un salaire moyen de 2 000 € avec un écart-type de 300 € a un sens immédiat ; une variance de 90 000 euros au carré n'en a aucun.

Exemple

Si V(X)=0,49, alors σ(X)=√(0,49)=0,7.

Deuxième exemple

Une variable d'espérance 12 et de variance 6,25 a pour écart-type √(6,25) = 2,5 : les valeurs se répartissent typiquement à environ 2,5 unités de 12.

Piège à éviter

On calcule toujours la variance avant l'écart-type. L'écart-type n'est jamais négatif (c'est une racine carrée).

Les autres formules de l'écart-type

Écart-type d'une transformation aX + b →σ(aX + b) = |a| σ(X)

Questions fréquentes

Un écart-type peut-il être négatif ?
Jamais : c'est une racine carrée, donc un nombre positif ou nul.
Que signifie un écart-type nul ?
Que toutes les valeurs sont identiques : la variable est constante, sans aucune dispersion.
Pourquoi ne pas se contenter de la variance ?
Parce qu'elle s'exprime dans l'unité de X au carré, ce qui la rend ininterprétable. L'écart-type ramène la dispersion à l'unité d'origine.

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