Formule : Écart-type d'une transformation aX + b

Ajouter une constante $b$b décale les valeurs sans changer leur dispersion : l'écart-type est inchangé. Multiplier par $a$a dilate les écarts, donc multiplie l'écart-type par $|a|$|a|.

On prend la valeur absolue de $a$a car un écart-type est toujours positif (cela correspond à $\sqrt{a^2}=|a|$√(a²) = |a| dans $V(aX+b)=a^{2}V(X)$V(aX+b) = a² V(X)).

Le contraste avec l'espérance est instructif : $E(aX+b)=aE(X)+b$E(aX+b) = a E(X) + b conserve le $b$b, alors que $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$σ(aX+b) = |a| σ(X) l'oublie complètement. L'un décrit une position, l'autre une dispersion.

Ajouter une constante translate toute la distribution sans l'étirer : les écarts entre les valeurs sont inchangés, donc la dispersion aussi.