Forme générale et vecteur directeur : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Une droite s'écrit toujours $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0 (avec $a$ a et $b$ b non tous nuls). Le vecteur $u (- b; a)$ vecteur u (-b ;a) en est un vecteur directeur.

Pour vérifier qu'un point appartient à la droite, on remplace ses coordonnées dans l'équation et on regarde si on obtient $0$ 0.

L'équation cartésienne a l'avantage d'être universelle : elle décrit toutes les droites, y compris les verticales, ce que la forme réduite ne sait pas faire.

Elle n'est pas unique : multiplier toute l'équation par un réel non nul donne la même droite. $3 x - y - 1 = 0$ 3x - y - 1 = 0 et $6 x - 2 y - 2 = 0$ 6x - 2y - 2 = 0 décrivent le même ensemble de points.

Exemple

Pour

3 x - y - 1 = 0

3x - y - 1 = 0 : un vecteur directeur est

u (1; 3)

vecteur u (1 ;3) (avec

a = 3

a = 3,

b = - 1

b = -1).

Deuxième exemple

Le point

B (2; 5)

B(2 ;5) appartient-il à

3 x - y - 1 = 0

3x - y - 1 = 0 ? On remplace :

3 \times 2 - 5 - 1 = 6 - 6 = 0

3× 2 - 5 - 1 = 6 - 6 = 0 ✓. Le point est bien sur la droite.

Piège à éviter

Le vecteur directeur est

(- b; a)

(-b ;a) : attention aux signes, surtout quand

b

b est négatif.

Les autres formules de l'équation cartésienne d'une droite

Équation par colinéarité →

M (x; y) \in d ⟺ A M et u colin \overset{e}{ˊ} aires

M(x ;y) ∈ d ⇔ vecteur AM et vecteur u colinéaires Passage à la forme réduite →

a x + b y + c = 0 \Rightarrow y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b} (b \neq = 0)

ax + by + c = 0 ⇒ y = -a/bx - c/b (b ≠ 0)

Questions fréquentes

Deux équations différentes peuvent-elles décrire la même droite ?

Oui, si l'une est un multiple de l'autre :

3 x - y - 1 = 0

3x - y - 1 = 0 et

6 x - 2 y - 2 = 0

6x - 2y - 2 = 0 sont équivalentes.

Comment tester si un point appartient à la droite ?

On remplace ses coordonnées dans l'équation : si l'on obtient

0

0, le point y appartient.

Pourquoi a et b ne peuvent-ils être nuls tous les deux ?

Sinon l'équation se réduirait à

c = 0

c = 0, qui ne décrit aucune droite : soit l'ensemble vide, soit le plan entier.

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