Passage à la forme réduite : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Si $b \neq = 0$ b ≠ 0, on isole $y$ y : la pente est $m = - \frac{a}{b}$ m = -a/b et l'ordonnée à l'origine $p = - \frac{c}{b}$ p = -c/b.

Si $b = 0$ b = 0, la droite est verticale ( $x = constante$ x = constante) et n'a pas de forme réduite.

Le passage à la forme réduite consiste à isoler $y$ y : on déplace les autres termes puis on divise tout par $b$ b. Les deux opérations changent les signes, ce qui est la source d'erreur principale.

La forme réduite rend immédiatement lisibles la pente et l'ordonnée à l'origine, ce que la forme cartésienne cache. C'est elle qu'on utilise pour comparer deux droites ou pour tracer.

Exemple

3 x - y - 1 = 0 \Rightarrow y = 3 x - 1

3x - y - 1 = 0 ⇒ y = 3x - 1 (pente

3

3, ordonnée à l'origine

- 1

-1).

Deuxième exemple

2 x + 5 y - 10 = 0

2x + 5y - 10 = 0 : on isole

5 y = - 2 x + 10

5y = -2x + 10, puis on divise par

5

5, d'où

y = - \frac{2}{5} x + 2

y = -2/5x + 2. La pente vaut

- 0, 4

-0,4 et l'ordonnée à l'origine

2

Piège à éviter

Bien diviser tous les termes par

b

b (et changer les signes) en isolant

y

Les autres formules de l'équation cartésienne d'une droite

Forme générale et vecteur directeur →

a x + b y + c = 0 u (- b; a)

ax + by + c = 0 vecteur u (-b ;a)Équation par colinéarité →

M (x; y) \in d ⟺ A M et u colin \overset{e}{ˊ} aires

M(x ;y) ∈ d ⇔ vecteur AM et vecteur u colinéaires

Questions fréquentes

Que faire si le coefficient de y est nul ?

La droite est verticale, d'équation

x = - \frac{c}{a}

x = -c/a, et n'admet pas de forme réduite.

Comment repérer une erreur de signe ?

En testant un point : on prend une valeur de

x

x, on calcule

y

y avec la forme réduite, et on vérifie que le couple annule l'équation cartésienne.

Les deux formes décrivent-elles la même droite ?

Oui, ce sont deux écritures du même ensemble de points. La forme cartésienne est plus générale, la forme réduite plus lisible.

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Formule : Passage à la forme réduite