Équation par colinéarité : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Un point $M (x; y)$ M(x ;y) appartient à la droite passant par $A$ A et de vecteur directeur $u (α; β)$ vecteur u (α ;β) si $A M$ vecteur AM et $u$ vecteur u sont colinéaires : $(x - x_{A}) β - (y - y_{A}) α = 0$ (x - x_A) β - (y - y_A) α = 0.

On développe ce déterminant nul pour obtenir l'équation $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0.

La construction repose entièrement sur la colinéarité : un point est sur la droite exactement quand le vecteur qui le relie à $A$ A a la même direction que $u$ vecteur u.

Une fois développée, l'équation prend la forme $β x - α y + c = 0$ β x - α y + c = 0 : on retrouve bien que $u (α; β)$ vecteur u (α ;β) correspond aux coefficients $(- b; a)$ (-b ;a).

Exemple

A (1; 2)

A(1 ;2),

u (2; 3)

vecteur u (2 ;3) :

(x - 1) \times 3 - (y - 2) \times 2 = 0

(x-1)× 3 - (y-2)× 2 = 0, soit

3 x - 2 y + 1 = 0

3x - 2y + 1 = 0.

Deuxième exemple

A (- 2; 3)

A(-2 ;3) et

u (4; 1)

vecteur u (4 ;1) :

(x + 2) \times 1 - (y - 3) \times 4 = 0

(x+2)× 1 - (y-3)× 4 = 0, soit

x + 2 - 4 y + 12 = 0

x + 2 - 4y + 12 = 0, donc

x - 4 y + 14 = 0

x - 4y + 14 = 0.

Piège à éviter

Le déterminant se calcule « en croix » :

(x - x_{A}) β - (y - y_{A}) α

(x - x_A)β - (y - y_A)α.

Les autres formules de l'équation cartésienne d'une droite

Forme générale et vecteur directeur →

a x + b y + c = 0 u (- b; a)

ax + by + c = 0 vecteur u (-b ;a)Passage à la forme réduite →

a x + b y + c = 0 \Rightarrow y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b} (b \neq = 0)

ax + by + c = 0 ⇒ y = -a/bx - c/b (b ≠ 0)

Questions fréquentes

Comment vérifier l'équation obtenue ?

En y remplaçant les coordonnées du point

A

A : on doit trouver

0

0. Ici

- 2 - 12 + 14 = 0

-2 - 12 + 14 = 0 ✓.

Peut-on partir d'un autre point de la droite ?

Oui, l'équation obtenue sera la même à un facteur près. Tout point de la droite convient.

Que se passe-t-il si le vecteur directeur est vertical ?

Avec

u (0; 1)

vecteur u (0 ;1), l'équation devient

x - x_{A} = 0

x - x_A = 0, soit

x = x_{A}

x = x_A : la droite est verticale, ce que la méthode gère sans difficulté.

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Formule : Équation par colinéarité