Exercices types · Terminale spé maths

Les événements indépendants — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Test direct

Niveau 1 · Application directe

P (A) = 0, 3

P(A)=0,3,

P (B) = 0, 5

P(B)=0,5,

P (A \cap B) = 0, 15

P(A∩ B)=0,15. Indépendants ?

Voir la correction

1.
$P (A) \times P (B) = 0, 3 \times 0, 5 = 0, 15$ P(A)× P(B) = 0,3× 0,5 = 0,15.
→ Critère d'indépendance
2.
Égal à $P (A \cap B)$ P(A∩ B) : oui, indépendants.

Réponse : Oui.

Réfuter l'indépendance

Niveau 1 · Application directe

P (A) = 0, 4

P(A)=0,4,

P (B) = 0, 5

P(B)=0,5,

P (A \cap B) = 0, 1

P(A∩ B)=0,1. Indépendants ?

Voir la correction

1.
$P (A) \times P (B) = 0, 2 \neq = 0, 1$ P(A)× P(B) = 0,2 ≠ 0,1.
→ Critère d'indépendance
2.
Non indépendants.

Réponse : Non.

Calculer une intersection

Niveau 2 · Méthode complète

A

A et

B

B sont indépendants,

P (A) = 0, 6

P(A)=0,6,

P (B) = 0, 3

P(B)=0,3. Calculer

P (A \cap B)

P(A∩ B).

Voir la correction

1.
$P (A \cap B) = P (A) \times P (B) = 0, 6 \times 0, 3 = 0, 18$ P(A∩ B) = P(A)× P(B) = 0,6× 0,3 = 0,18.
→ Critère d'indépendance

Réponse :

0, 18

0,18.

Critère conditionnel

Niveau 2 · Méthode complète

P (B) = 0, 25

P(B)=0,25 et

P_{A} (B) = 0, 25

P_A(B)=0,25. Que peut-on dire de

A

A et

B

B ?

Voir la correction

1.
$P_{A} (B) = P (B)$ P_A(B) = P(B) : indépendants.
→ Caractérisation conditionnelle

Réponse : Indépendants.

Dé équilibré

Niveau 2 · Méthode complète

Un dé équilibré.

A = {1, 2, 3}

A={1,2,3},

B = {2, 4, 6}

B={2,4,6}. Les événements sont-ils indépendants ?

Voir la correction

1.
$P (A) = \frac{1}{2}$ P(A)=1/2, $P (B) = \frac{1}{2}$ P(B)=1/2, $A \cap B = {2}$ A∩ B={2} donc $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ P(A∩ B)=1/6.
2.
$P (A) \times P (B) = \frac{1}{4} \neq = \frac{1}{6}$ P(A)× P(B)=1/4 ≠ 1/6.
→ Critère d'indépendance
3.
Non indépendants.

Réponse : Non.

Deux pièces

Niveau 2 · Méthode complète

On lance deux pièces équilibrées.

A

A = « pile au premier lancer »,

B

B = « pile au second ». Indépendants ?

Voir la correction

1.
$P (A) = \frac{1}{2}$ P(A)=1/2, $P (B) = \frac{1}{2}$ P(B)=1/2, $P (A \cap B) = \frac{1}{4}$ P(A∩ B)=1/4.
2.
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 1/2×1/2=1/4 : oui, indépendants.
→ Critère d'indépendance

Réponse : Oui.

Indépendance et contraire

Niveau 3 · Type contrôle

A

A et

B

B indépendants,

P (A) = 0, 7

P(A)=0,7,

P (B) = 0, 2

P(B)=0,2. Calculer

P (A \cap \overline{B})

P(A∩ B̅).

Voir la correction

1.
$A$ A et $\overline{B}$ B̅ sont aussi indépendants ; $P (\overline{B}) = 1 - 0, 2 = 0, 8$ P(B̅) = 1 - 0,2 = 0,8.
2.
$P (A \cap \overline{B}) = 0, 7 \times 0, 8 = 0, 56$ P(AcapB̅) = 0,7× 0,8 = 0,56.
→ Critère d'indépendance

Réponse :

0, 56

0,56.

Deux dés (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

On lance deux dés équilibrés.

A =

A= « le premier dé est pair »,

B =

B= « la somme vaut

7

7 ».

A

A et

B

B sont-ils indépendants ?

Voir la correction

1.
$P (A) = \frac{1}{2}$ P(A)=1/2, $P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ P(B)=6/36=1/6.
2.
$A \cap B$ A∩ B : $(2, 5), (4, 3), (6, 1)$ (2,5),(4,3),(6,1), soit $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ 3/36=1/12.
→ Critère d'indépendance
3.
$P (A) \times P (B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} = P (A \cap B)$ P(A)× P(B)=1/2×1/6=1/12=P(A∩ B).

Réponse : Oui, indépendants.

Méthode utilisée : Test $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ P(A∩ B)=P(A)× P(B).

Erreur fréquente : Conclure « non » sans calculer $P (A \cap B)$ P(A∩ B).

Via la réunion

Niveau 3 · Type contrôle

On donne

P (A) = 0, 5

P(A)=0,5,

P (B) = 0, 4

P(B)=0,4 et

P (A \cup B) = 0, 7

P(A∪ B)=0,7.

A

A et

B

B sont-ils indépendants ?

Voir la correction

1.
$P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B) = 0, 5 + 0, 4 - 0, 7 = 0, 2$ P(A∩ B)=P(A)+P(B)-P(A∪ B)=0,5+0,4-0,7=0,2.
2.
$P (A) \times P (B) = 0, 2 = P (A \cap B)$ P(A)× P(B)=0,2=P(A∩ B).
→ Critère d'indépendance

Réponse : Oui, indépendants.

Méthode utilisée : On calcule $P (A \cap B)$ P(A∩ B) via la réunion, puis on teste.

Erreur fréquente : Oublier la formule $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B).

Calculer une réunion (type bac)

Niveau 4 · Type brevet/bac

A

A et

B

B sont indépendants avec

P (A) = 0, 6

P(A)=0,6 et

P (B) = 0, 5

P(B)=0,5. Calculer

P (A \cup B)

P(A∪ B).

Voir la correction

1.
$P (A \cap B) = 0, 6 \times 0, 5 = 0, 3$ P(A∩ B)=0,6× 0,5=0,3.
→ Critère d'indépendance
2.
$P (A \cup B) = 0, 6 + 0, 5 - 0, 3 = 0, 8$ P(A∪ B)=0,6+0,5-0,3=0,8.

Réponse :

P (A \cup B) = 0, 8

P(A∪ B)=0,8.

Méthode utilisée : Indépendance pour l'intersection, puis formule de la réunion.

Erreur fréquente : Additionner $0, 6 + 0, 5$ 0,6+0,5 sans retirer l'intersection.

Tout sur probabilités en terminale

Dénombrement, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, variables aléatoires et loi des grands nombres.

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