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Formule · Terminale spé maths

Formule : Caractérisation conditionnelle

Conditionner par A ne change pas la probabilité de B.

P_A(B) = P(B) (P(A) ≠ 0)

En écriture simple : P_A(B) = P(B), avec P(A) ≠ 0

Ce que dit la formule

Cette forme est souvent la plus parlante : A et B sont indépendants quand la probabilité de B « sachant A » est égale à la probabilité de B. L'information « A est réalisé » n'apporte rien sur B.

C'est la traduction la plus intuitive de l'indépendance : savoir que A s'est réalisé ne modifie en rien les chances de B. L'information apportée par A est nulle quant à B.

Cette caractérisation est équivalente à P(A ∩ B) = P(A)× P(B), qui a l'avantage d'être symétrique en A et B et de rester valable même si P(A) = 0.

Exemple

Si P(B) = 0,4 et que P_A(B) = 0,4 également, alors A et B sont indépendants.

Deuxième exemple

On lance deux dés. Soit A « le premier dé donne 6 » et B « le second dé donne un nombre pair ». On a P(B) = 0,5, et savoir que le premier dé a donné 6 ne change rien au second : P_A(B) = 0,5 = P(B), les événements sont indépendants.

Les autres formules de les événements indépendants

Critère d'indépendance →P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Questions fréquentes

Indépendant et incompatible, est-ce la même chose ?
Non, c'est presque le contraire. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si l'un se réalise, l'autre devient impossible.
Pourquoi la condition sur la probabilité de A ?
Parce que la probabilité conditionnelle P_A(B) se définit en divisant par P(A). La formulation par le produit, elle, n'a pas cette restriction.
L'indépendance est-elle symétrique ?
Oui : si A est indépendant de B, alors B l'est de A. C'est plus visible sur la forme P(A ∩ B) = P(A)× P(B).

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