Loi binomiale : P(X = k) : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Pour $X \sim B (n; p)$ X ~ B (n ; p), la probabilité d'obtenir exactement $k$ k succès est $(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ C(n, k) p^(k) (1-p)^(n-k), pour $k$ k entier entre $0$ 0 et $n$ n.

On y lit trois morceaux : $(k n)$ C(n, k) (le nombre de dispositions des $k$ k succès), $p^{k}$ p^(k) (les $k$ k succès) et $(1 - p)^{n - k}$ (1-p)^(n-k) (les $n - k$ n-k échecs).

Exemple

Pour

X \sim B (10; 0, 3)

X ~ B (10 ; 0,3) et

k = 2

k = 2 :

P (X = 2) = (2 10) 0, 3^{2} 0, 7^{8} = 45 \times 0, 09 \times 0, 0576 \approx 0, 233

P(X=2) = C(10, 2) 0,3² 0,7⁸ = 45× 0,09× 0,0576≈ 0,233.

Piège à éviter

L'exposant des échecs est

n - k

n-k, pas

n

n. Et

(k n)

C(n, k) ne s'oublie pas : sans lui, on ne compte qu'une seule disposition.

Les autres formules de la loi binomiale

Espérance de la loi binomiale →

E (X) = n p

E(X) = np Variance et écart-type de la loi binomiale →

V (X) = n p (1 - p) σ (X) = n p (1 - p)

V(X) = np(1-p) σ(X) = √(np(1-p))

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La loi binomiale →

Formule : Loi binomiale : P(X = k)

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