Espérance de la loi binomiale : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

L'espérance d'une loi binomiale $B (n; p)$ B (n ; p) vaut $E (X) = n p$ E(X) = np : c'est le nombre moyen de succès si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Intuitif : sur $n$ n épreuves ayant chacune une probabilité de succès $p$ p, on attend en moyenne $n p$ np succès.

La simplicité de $E (X) = n p$ E(X) = np est trompeuse : elle découle de la linéarité de l'espérance appliquée à une somme de $n$ n épreuves de Bernoulli, chacune d'espérance $p$ p.

L'espérance n'est pas une valeur que $X$ X peut prendre : pour $B (5; 0, 5)$ B (5 ;0,5), $E (X) = 2, 5$ E(X) = 2,5 alors que le nombre de succès est forcément entier. C'est une moyenne à long terme.

Exemple

Pour

B (10; 0, 3)

B (10 ; 0,3) :

E (X) = 10 \times 0, 3 = 3

E(X) = 10× 0,3 = 3.

Deuxième exemple

Un QCM de

20

20 questions à

4

4 réponses, rempli au hasard :

X

X suit

B (20; 0, 25)

B (20 ;0,25) et

E (X) = 20 \times 0, 25 = 5

E(X) = 20 × 0,25 = 5. On attend donc

5

5 bonnes réponses en moyenne.

Les autres formules de la loi binomiale

Loi binomiale : P(X = k) →

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

P(X = k) = C(n, k) p^(k) (1-p)^(n-k)Variance et écart-type de la loi binomiale →

V (X) = n p (1 - p) σ (X) = n p (1 - p)

V(X) = np(1-p) σ(X) = √(np(1-p))

Questions fréquentes

L'espérance est-elle une valeur atteignable ?

Pas nécessairement. Pour

B (5; 0, 5)

B (5 ;0,5),

E (X) = 2, 5

E(X) = 2,5, alors que le nombre de succès est forcément entier.

Que vaut la variance d'une loi binomiale ?

V (X) = n p (1 - p)

V(X) = np(1-p), et l'écart-type en est la racine carrée. Pour

B (20; 0, 25)

B (20 ;0,25) :

V (X) = 20 \times 0, 25 \times 0, 75 = 3, 75

V(X) = 20 × 0,25 × 0,75 = 3,75.

Comment interpréter l'espérance concrètement ?

Comme la moyenne des résultats que l'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur probabilités en terminale

Dénombrement, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, variables aléatoires et loi des grands nombres.

Retrouve la notion complète : définitions, méthodes et exercices corrigés.

La loi binomiale →

Formule : Espérance de la loi binomiale

Ce que dit la formule

Exemple

Deuxième exemple

Les autres formules de la loi binomiale

Questions fréquentes

Notions liées

Tout sur probabilités en terminale

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Outils et pages dédiées