Formule de König-Huygens : énoncé et exemple

Ce que dit la formule

La formule de König-Huygens est la version « calculatoire » de la variance : la variance est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne, où $E (X^{2}) = \sum_{i} x_{i}^{2} p_{i}$ E(X²) = Σᵢ xᵢ² pᵢ.

Elle évite de calculer chaque écart à l'espérance : on calcule $E (X)$ E(X) et $E (X^{2})$ E(X²), puis on soustrait. C'est la méthode à privilégier dans la quasi-totalité des exercices.

Exemple

Avec la loi

P (X = 1) = 0, 2

P(X=1)=0,2,

P (X = 2) = 0, 5

P(X=2)=0,5,

P (X = 3) = 0, 3

P(X=3)=0,3 :

E (X) = 2, 1

E(X)=2,1 et

E (X^{2}) = 1^{2} (0, 2) + 2^{2} (0, 5) + 3^{2} (0, 3) = 4, 9

E(X²)=1²(0,2)+2²(0,5)+3²(0,3)=4,9, donc

V (X) = 4, 9 - 2, 1^{2} = 0, 49

V(X)=4,9-2,1²=0,49.

Piège à éviter

Ne pas confondre

E (X^{2})

E(X²) (on élève les valeurs

x_{i}

xᵢ au carré) et

(E (X))^{2}

(E(X))² (on élève l'espérance au carré). Ces deux quantités sont presque toujours différentes — leur différence est justement la variance.

Les autres formules de la variance

Formule de définition de la variance →

V (X) = i \sum (x_{i} - μ)^{2} p_{i} avec μ = E (X)

V(X) = Σᵢ (xᵢ - μ)² pᵢ avec μ = E(X)Variance d'une transformation affine aX + b →

V (a X + b) = a^{2} V (X)

V(aX + b) = a² V(X)Variance de la loi binomiale →

V (X) = n p (1 - p) pour X \sim B (n; p)

V(X) = np(1-p) pour X ~ B (n ; p)

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