Variance de la loi binomiale : la formule et un exemple

En écriture simple : V(X) = n × p × (1 − p), pour X suivant la loi binomiale B(n ; p)

Ce que dit la formule

Si $X$ X suit la loi binomiale $B (n; p)$ B (n ; p) (nombre de succès sur $n$ n épreuves identiques et indépendantes de probabilité de succès $p$ p), sa variance est $V (X) = n p (1 - p)$ V(X)=np(1-p).

On retient en parallèle l'espérance $E (X) = n p$ E(X)=np et l'écart-type $σ (X) = n p (1 - p)$ σ(X)=√(np(1-p)). Ces résultats sont au programme et se réutilisent sans démonstration.

Exemple

Pour

X \sim B (10; 0, 3)

X ~ B (10 ; 0,3) :

E (X) = 10 \times 0, 3 = 3

E(X)=10× 0,3=3,

V (X) = 10 \times 0, 3 \times 0, 7 = 2, 1

V(X)=10× 0,3× 0,7=2,1 et

σ (X) = 2, 1 \approx 1, 45

σ(X)=√(2,1)≈ 1,45.

Piège à éviter

Bien utiliser

1 - p

1-p (la probabilité d'échec) et non

p

p deux fois :

n p (1 - p)

np(1-p), pas

n p^{2}

np².

Les autres formules de la variance

Formule de définition de la variance →

V (X) = i \sum (x_{i} - μ)^{2} p_{i} avec μ = E (X)

V(X) = Σᵢ (xᵢ - μ)² pᵢ avec μ = E(X)Formule de König-Huygens →

V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

V(X) = E(X²) - (E(X))² Variance d'une transformation affine aX + b →

V (a X + b) = a^{2} V (X)

V(aX + b) = a² V(X)

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