Variance d'une transformation affine aX + b : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Lorsqu'on transforme $X$ X en $a X + b$ aX+b, la constante $b$ b décale toutes les valeurs de la même quantité : elle ne modifie pas la dispersion, donc pas la variance.

Le coefficient $a$ a, lui, dilate les écarts d'un facteur $a$ a ; comme la variance porte sur des carrés d'écarts, elle est multipliée par $a^{2}$ a². Pour l'écart-type, on a en conséquence $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ σ(aX+b)=|a| σ(X).

Exemple

V (X) = 0, 49

V(X)=0,49 et

Y = 2 X + 3

Y=2X+3, alors

V (Y) = 2^{2} \times 0, 49 = 1, 96

V(Y)=2²× 0,49=1,96 et

σ (Y) = 2 \times 0, 7 = 1, 4

σ(Y)=2× 0,7=1,4.

Piège à éviter

Erreur classique : écrire

V (a X + b) = a V (X) + b

V(aX+b)=a V(X)+b. C'est faux. La constante

b

b disparaît et le coefficient passe au carré :

V (a X + b) = a^{2} V (X)

V(aX+b)=a² V(X).

Les autres formules de la variance

Formule de définition de la variance →

V (X) = i \sum (x_{i} - μ)^{2} p_{i} avec μ = E (X)

V(X) = Σᵢ (xᵢ - μ)² pᵢ avec μ = E(X)Formule de König-Huygens →

V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

V(X) = E(X²) - (E(X))² Variance de la loi binomiale →

V (X) = n p (1 - p) pour X \sim B (n; p)

V(X) = np(1-p) pour X ~ B (n ; p)

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Formule : Variance d'une transformation affine aX + b

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