Norme d'un vecteur : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

La norme $∥ u ∥$ ‖ vecteur u ‖ est la longueur du vecteur $u (x; y)$ vecteur u (x ;y) : c'est $x^{2} + y^{2}$ √(x² + y²), d'après le théorème de Pythagore.

Pour la distance entre deux points $A$ A et $B$ B, on calcule la norme de $A B$ vecteur AB : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²).

La formule n'est autre que le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les coordonnées : $x$ x et $y$ y sont les côtés, la norme est l'hypoténuse.

Une norme est toujours positive ou nulle, et elle ne s'annule que pour le vecteur nul. C'est ce qui en fait une mesure de longueur.

Exemple

Pour

A B (3; 4)

vecteur AB (3 ;4) :

∥ A B ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

‖ vecteur AB ‖ = √(3² + 4²) = √(25) = 5.

Deuxième exemple

Pour

u (- 5; 12)

vecteur u (-5 ;12) :

∥ u ∥ = 25 + 144 = 169 = 13

‖ vecteur u ‖ = √(25 + 144) = √(169) = 13. Le signe négatif de l'abscisse disparaît au carré, ce qui est normal pour une longueur.

Piège à éviter

On additionne les carrés avant la racine :

x^{2} + y^{2}

√(x² + y²), pas

x^{2} + y^{2}

√(x²) + √(y²).

Les autres formules de les vecteurs

Coordonnées et opérations →

A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) u + v (x + x^{'}; y + y^{'}) k u (k x; k y)

vecteur AB (x_B - x_A ; y_B - y_A) vecteur u + vecteur v (x+x' ; y+y') k vecteur u (kx ; ky)Critère de colinéarité →

u (x; y) et v (x^{'}; y^{'}) colin \overset{e}{ˊ} aires ⟺ x y^{'} - y x^{'} = 0

vecteur u (x ;y) et vecteur v (x' ;y') colinéaires ⇔ x y' - y x' = 0

Questions fréquentes

Le signe des coordonnées influence-t-il la norme ?

Non : les coordonnées sont élevées au carré, donc les signes disparaissent.

(- 3; 4)

(-3 ;4) et

(3; 4)

(3 ;4) ont la même norme.

Comment calculer une distance entre deux points ?

En prenant la norme du vecteur qui les relie :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

AB = √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²).

Que vaut la norme d'un vecteur multiplié par un réel ?

∥ k u ∥ = ∣ k ∣ ∥ u ∥

‖k vecteur u ‖ = |k| ‖ vecteur u ‖ : la longueur est multipliée par la valeur absolue du coefficient.

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