Coordonnées et opérations : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Les coordonnées de $A B$ vecteur AB sont $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ (x_B - x_A ; y_B - y_A). Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées ; pour multiplier par un réel $k$ k, on multiplie chaque coordonnée par $k$ k.

La relation de Chasles relie les déplacements : $A B + B C = A C$ vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC.

Tout le calcul vectoriel dans le plan se ramène à des calculs sur les coordonnées : c'est ce qui rend ces formules aussi mécaniques qu'efficaces.

La relation de Chasles est la traduction du déplacement : aller de $A$ A à $C$ C en passant par $B$ B revient à aller directement de $A$ A à $C$ C. Elle permet de simplifier les sommes de vecteurs sans passer par les coordonnées.

Exemple

Pour

A (1; 2)

A(1 ;2) et

B (4; 6)

B(4 ;6) :

A B (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)

vecteur AB (4-1 ; 6-2) = (3 ;4).

Deuxième exemple

Avec

u (3; - 1)

vecteur u (3 ;-1) et

v (2; 5)

vecteur v (2 ;5) :

u + v (5; 4)

vecteur u + vecteur v (5 ;4) et

3 u (9; - 3)

3 vecteur u (9 ;-3). On additionne coordonnée par coordonnée, et le facteur multiplie les deux.

Piège à éviter

Pour

A B

vecteur AB, on calcule « arrivée moins départ » :

(x_{B} - x_{A})

(x_B - x_A), pas l'inverse.

Les autres formules de les vecteurs

Norme d'un vecteur →

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}

‖ vecteur u ‖ = √(x² + y²)Critère de colinéarité →

u (x; y) et v (x^{'}; y^{'}) colin \overset{e}{ˊ} aires ⟺ x y^{'} - y x^{'} = 0

vecteur u (x ;y) et vecteur v (x' ;y') colinéaires ⇔ x y' - y x' = 0

Questions fréquentes

Deux vecteurs de mêmes coordonnées sont-ils égaux ?

Oui, même s'ils sont dessinés à des endroits différents : un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur, pas par sa position.

Comment utiliser la relation de Chasles ?

En insérant un point intermédiaire :

A C = A B + B C

vecteur AC = vecteur AB + vecteur BC. Elle sert à faire apparaître des vecteurs connus dans une expression.

Que vaut le vecteur AB additionné au vecteur BA ?

Le vecteur nul :

A B + B A = AA = 0

vecteur AB + vecteur BA = vecteur AA = vecteur 0. Aller puis revenir ne déplace pas.

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