Ce que dit la formule
Sur un intervalle où f'(x) > 0, f est croissante ; où f'(x) < 0, f est décroissante.
On calcule f', on étudie son signe, puis on en déduit les variations.
Le lien est à sens unique dans la lecture : c'est le signe de f' qui donne les variations de f, jamais le signe de f. Une fonction peut être négative tout en croissant.
Le tableau de variations synthétise les deux informations : une ligne pour le signe de f', une pour les flèches de variation de f, avec les valeurs aux bornes et aux extremums.
Exemple
f(x) = x² - 4x + 1 : f'(x) = 2x - 4 > 0 pour x > 2, donc f croît sur [2 ;+∞[.
Deuxième exemple
f(x) = x³ - 12x : f'(x) = 3x² - 12 est négative sur ]-2 ;2[ et positive ailleurs. La fonction croît jusqu'à -2, décroît de -2 à 2, puis croît de nouveau.
Piège à éviter
On lit les variations sur le signe de f', pas sur celui de f.
Questions fréquentes
Une fonction négative peut-elle être croissante ?
Oui, sans difficulté : f(x) = x - 10 est négative pour x < 10 et pourtant croissante partout. Le signe de f et celui de f' sont indépendants.
Que se passe-t-il là où la dérivée s'annule ?
La tangente est horizontale. Si f' change de signe, il y a un extremum ; sinon la fonction poursuit son sens de variation.
La réciproque est-elle vraie ?
Oui : si f est croissante et dérivable sur un intervalle, alors f' y est positive ou nulle.
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