La dérivée — exercices types corrigés

1. 1.
   On dérive terme par terme avec $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹.

   → Dérivées usuelles
2. 2.
   $(2x^3{)}^{\prime }=6x^2$(2x³)' = 6x², $(-4x^2{)}^{\prime }=-8x$(-4x²)' = -8x, $(x{)}^{\prime }=1$(x)' = 1, $(-7{)}^{\prime }=0$(-7)' = 0.
3. 3.
   Donc $f^{\prime }(x)=6x^2-8x+1$f'(x) = 6x² - 8x + 1.

Méthode utilisée : On dérive terme à terme.

1. 1.
   $f(1)=1$f(1) = 1 et $f^{\prime }(x)=2x$f'(x) = 2x donne $f^{\prime }(1)=2$f'(1) = 2.

   → Dérivées usuelles
2. 2.
   On applique $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y = f'(a)(x - a) + f(a) avec $a=1$a = 1 : $y=2(x-1)+1$y = 2(x - 1) + 1.

   → Équation de la tangente
3. 3.
   En développant : $y=2x-1$y = 2x - 1.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x) = 2x - 4.

   → Dérivées usuelles
2. 2.
   $f^{\prime }(x)=0$f'(x) = 0 pour $x=2$x = 2 ; $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0 avant $2$2, $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 après.
3. 3.
   Donc $f$f décroît sur $]-\infty ;2]$]-∞ ;2], croît sur $[2;+\infty [$[2 ;+∞[, et $f(2)=4-8+1=-3$f(2) = 4 - 8 + 1 = -3.

1. 1.
   On pose $u=3x-1$u = 3x - 1 ($u^{\prime }=3$u' = 3) et $v=x+2$v = x + 2 ($v^{\prime }=1$v' = 1).
2. 2.
   Règle du produit : $f^{\prime }(x)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=3(x+2)+(3x-1)\times 1$f'(x) = u'v + uv' = 3(x + 2) + (3x - 1)× 1.

   → Règles de dérivation
3. 3.
   En développant : $f^{\prime }(x)=3x+6+3x-1=6x+5$f'(x) = 3x + 6 + 3x - 1 = 6x + 5 (on peut vérifier en développant $f(x)=3x^2+5x-2$f(x) = 3x² + 5x - 2).

Méthode utilisée : Règle du produit : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv'.

Erreur fréquente : Multiplier les dérivées : $(uv{)}^{\prime }\ne u^{\prime }{v}^{\prime }$(uv)'≠ u'v'.

1. 1.
   On dérive terme par terme avec $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹.

   → Dérivées usuelles
2. 2.
   $(x^4{)}^{\prime }=4x^3$(x⁴)' = 4x³, $(-3x^2{)}^{\prime }=-6x$(-3x²)' = -6x, $(2x{)}^{\prime }=2$(2x)' = 2.
3. 3.
   $f^{\prime }(x)=4x^3-6x+2$f'(x) = 4x³ - 6x + 2.

1. 1.
   On pose $u=x+1$u = x+1 ($u^{\prime }=1$u' = 1) et $v=x-1$v = x-1 ($v^{\prime }=1$v' = 1).
2. 2.
   Règle du quotient : $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}$f'(x) = (u'v - uv')/v² = ((x-1) - (x+1))/((x-1)²).

   → Règles de dérivation
3. 3.
   $f^{\prime }(x)=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$f'(x) = (-2)/((x-1)²).

Méthode utilisée : Règle du quotient : ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v².

Erreur fréquente : Oublier le carré au dénominateur.

1. 1.
   C'est une dérivée usuelle : ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)' = -1/x².

   → Dérivées usuelles

1. 1.
   $f(2)=8$f(2) = 8 et $f^{\prime }(x)=3x^2$f'(x) = 3x², donc $f^{\prime }(2)=12$f'(2) = 12.

   → Dérivées usuelles
2. 2.
   $y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)=12(x-2)+8$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 12(x - 2) + 8.

   → Équation de la tangente
3. 3.
   $y=12x-16$y = 12x - 16.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1).

   → Dérivées usuelles
2. 2.
   $f^{\prime }(x)=0$f'(x) = 0 pour $x=-1$x = -1 et $x=1$x = 1 ; $f^{\prime }>0$f' > 0 hors de $[-1;1]$[-1 ;1], $f^{\prime }<0$f' < 0 entre.
3. 3.
   $f$f croît sur $]-\infty ;-1]$]-∞ ;-1], décroît sur $[-1;1]$[-1 ;1], croît sur $[1;+\infty [$[1 ;+∞[.

1. 1.
   $A(x)=10x-x^2$A(x) = 10x - x², donc $A^{\prime }(x)=10-2x$A'(x) = 10 - 2x.

   → Dérivées usuelles
2. 2.
   $A^{\prime }(x)=0⟺x=5$A'(x) = 0 ⇔ x = 5 ; $A^{\prime }$A' passe de $+$+ à $-$- : maximum en $x=5$x = 5.
3. 3.
   $A(5)=5\times (10-5)=25$A(5) = 5×(10 - 5) = 25 m². L'enclos optimal est un carré de côté $5$5 m.

Méthode utilisée : On modélise l'aire, puis on cherche son maximum par la dérivée.

Erreur fréquente : Oublier la contrainte de périmètre ($20$20 m).