Le minimum et le maximum d'une fonction sont ses valeurs extrêmes : le maximum est la plus grande valeur atteinte, le minimum la plus petite, sur un intervalle ou sur tout le domaine d'étude. On les lit dans le tableau de variations : le maximum en haut d'une montée-descente, le minimum en bas d'une descente-montée. Pour une fonction dérivable, ils correspondent souvent à un point où la dérivée s'annule en changeant de signe. Il faut distinguer la valeur de l'extremum (l'ordonnée f(a)) et l'endroit où il est atteint (l'abscisse a). Minimums et maximums servent à répondre aux problèmes d'optimisation : aire maximale, coût minimal.
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Méthode utilisée : f'(x)=0 puis on calcule f en ce point.
Erreur fréquente : Donner x=2 comme valeur du minimum (c'est l'abscisse).
Méthode utilisée : Sur un segment, on compare aussi les valeurs aux bornes.
Erreur fréquente : Oublier d'évaluer f aux bornes 1 et 3.
On dresse le tableau de variations grâce à la dérivée, puis on repère la plus petite (minimum) ou plus grande (maximum) valeur.
Sur un intervalle fermé, oui : le minimum ou le maximum peut être atteint à une borne, pas seulement à un extremum.
Non. Sur ℝ, une parabole tournée vers le haut a un minimum mais pas de maximum (elle monte à l'infini).
On cherche où f'(x) = 0, on étudie le signe de f' : là où f' passe de négatif à positif, f atteint un minimum.
Le minimum est la plus petite valeur de f(x) ; il est atteint en une certaine abscisse x₀. On distingue « minimum m » et « atteint en x₀ ».
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Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.
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Variations et extremums — Première spé maths →