Notion

L'équation de la tangente

L'équation de la tangente à la courbe d'une fonction $f$ f au point d'abscisse $a$ a est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ y=f'(a)(x-a)+f(a). Cette droite épouse la courbe au point $(a; f (a))$ (a ;f(a)) : son coefficient directeur est le nombre dérivé $f^{'} (a)$ f'(a), et elle passe par ce point. Pour l'écrire, on calcule donc deux nombres : $f (a)$ f(a), l'ordonnée du point de contact, et $f^{'} (a)$ f'(a), la pente. La tangente donne la meilleure approximation affine de la fonction autour de $a$ a ; elle sert à approcher des valeurs, à étudier la position locale de la courbe (convexité) et revient très souvent au bac dans l'étude de fonctions.

Définitions

Équation de la tangente: C'est l'équation de la droite tangente : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ y = f'(a)(x - a) + f(a), de pente $f^{'} (a)$ f'(a) passant par $(a; f (a))$ (a ;f(a)).
Point de contact: La tangente en $a$ a touche la courbe au point $(a; f (a))$ (a ;f(a)) et y a la même pente $f^{'} (a)$ f'(a) : c'est la droite qui « colle » à la courbe en ce point.

Formules

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Formule de la tangente →

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

y = f'(a) (x - a) + f(a)y = f'(a) × (x − a) + f(a)Pente f'(a), point (a ; f(a)).

Méthodes

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Trouver l'équation de la tangente →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Équation en a = 2

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer l'équation de la tangente à

f (x) = x^{2}

f(x) = x² en

a = 2

a = 2.

Voir la correction

1.
$f (2) = 4$ f(2) = 4, $f^{'} (2) = 4$ f'(2) = 4.
→ Formule de la tangente
2.
$y = 4 (x - 2) + 4 = 4 x - 4$ y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4.

Réponse :

y = 4 x - 4

y = 4x - 4.

En a = 0

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la tangente à

f (x) = x^{2} + 1

f(x) = x² + 1 en

a = 0

a = 0.

Voir la correction

1.
$f (0) = 1$ f(0) = 1, $f^{'} (x) = 2 x$ f'(x) = 2x donc $f^{'} (0) = 0$ f'(0) = 0.
→ Formule de la tangente
2.
$y = 0 (x - 0) + 1 = 1$ y = 0(x - 0) + 1 = 1 (tangente horizontale).

Réponse :

y = 1

y = 1.

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Questions fréquentes

Quelle est la formule de l'équation de la tangente ?

y = f'(a)(x − a) + f(a). La pente est f'(a), et la tangente passe par le point (a ; f(a)).

Quels calculs faut-il faire ?

Deux seulement : f(a) (la hauteur du point) et f'(a) (la pente). On les remplace dans la formule, puis on développe.

Que signifie une tangente horizontale ?

Que f'(a) = 0 : la pente est nulle, l'équation est y = f(a). C'est souvent un sommet ou un creux de la courbe.

Comment trouver le coefficient directeur de la tangente ?

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est le nombre dérivé f'(a). On calcule donc la dérivée f', puis on l'évalue en a.

Comment calculer l'équation d'une tangente ?

On calcule f(a) (le point de contact) et f'(a) (la pente), puis on remplace dans y = f'(a)(x − a) + f(a) et on développe pour obtenir une équation de la forme y = mx + p.

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