Le nombre dérivé d'une fonction f en un point d'abscisse a, noté f'(a), est la pente de la tangente à la courbe en ce point. Il se définit comme la limite du taux de variation (f(a+h)-f(a))/h lorsque h tend vers 0 : il mesure la vitesse à laquelle la fonction varie autour de a. Un nombre dérivé positif signale une fonction localement croissante, négatif une fonction décroissante, nul une tangente horizontale (souvent un extremum). Il permet d'écrire l'équation de la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a). En faisant varier a, on obtient la fonction dérivée. Le nombre dérivé est la première notion du chapitre de dérivation.
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Méthode utilisée : Taux de variation =(f(a+h)-f(a))/h.
Méthode utilisée : f'(a)=lim_h→ 0(f(a+h)-f(a))/h.
C'est la pente de la courbe en un point précis : un seul nombre qui dit à quel point ça monte ou ça descend juste là. Image : sur une route en montagne, le nombre dérivé en un endroit, c'est la raideur de la pente sous tes pieds à cet instant.
Le taux de variation est une pente moyenne entre deux points (comme la vitesse moyenne sur un trajet). Le nombre dérivé est la pente en un seul point, obtenue en rapprochant les deux points jusqu'à les confondre (comme la vitesse instantanée affichée au compteur).
Parce qu'on veut la pente exactement en a, pas la pente moyenne autour de a. En rapprochant le second point (a + h) du premier (h de plus en plus petit), la droite sécante devient la tangente, et le taux moyen devient la pente exacte.
On trace la tangente au point voulu et on calcule sa pente : on prend deux points de cette tangente et on fait (différence des hauteurs) ÷ (différence des largeurs). Le résultat est le nombre dérivé.
Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale : la courbe est momentanément « plate » en a. C'est souvent un sommet (maximum) ou un creux (minimum), comme le point le plus haut atteint par un ballon avant de retomber.
Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.
Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.
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