Exercices corrigés : Fonction dérivée — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   On dérive terme à terme avec $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹.

2. 2

   $(4x^3{)}^{\prime }=12x^2$(4x³)'=12x², $(-2x^2{)}^{\prime }=-4x$(-2x²)'=-4x, $(5x{)}^{\prime }=5$(5x)'=5, $(-7{)}^{\prime }=0$(-7)'=0.

3. 3

   $f^{\prime }(x)=12x^2-4x+5$f'(x)=12x²-4x+5.

Rappel de cours : $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ ; la dérivée d'une constante est nulle ; on dérive terme à terme.

Correction détaillée

1. 1

   ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x² et ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$f'(x)=-1/x²+1/(2 √x ).

Rappel de cours : Dérivées de référence : ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x², ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ).

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3\times \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2\sqrt{x}}$f'(x)=3×1/(2 √x )=3/(2 √x ).

2. 2

   $g(x)=5\times \frac{1}{x}$g(x)=5×1/x, donc $g^{\prime }(x)=5\times \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{5}{x^2}$g'(x)=5×(-1/x²)=-5/x².

Rappel de cours : $(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$(k u)'=k u' : un coefficient constant se conserve dans la dérivée.

Correction détaillée

1. 1

   Produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv' avec $u=x^2+1$u=x²+1 ($u^{\prime }=2x$u'=2x), $v=3x-2$v=3x-2 ($v^{\prime }=3$v'=3).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=2x(3x-2)+(x^2+1)\times 3=6x^2-4x+3x^2+3=9x^2-4x+3$f'(x)=2x(3x-2)+(x²+1)× 3=6x²-4x+3x²+3=9x²-4x+3.

Rappel de cours : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv'. Développer et réduire pour finir.

Erreur fréquente : $(uv{)}^{\prime }\ne u^{\prime }{v}^{\prime }$(uv)'≠ u'v' : il y a deux termes. Oublier l'un d'eux est l'erreur classique.

Correction détaillée

1. 1

   Quotient ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v² avec $u=2x+1$u=2x+1 ($u^{\prime }=2$u'=2), $v=x-3$v=x-3 ($v^{\prime }=1$v'=1).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)\times 1}{(x-3{)}^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3{)}^2}=\frac{-7}{(x-3{)}^2}$f'(x)=(2(x-3)-(2x+1)× 1)/((x-3)²)=(2x-6-2x-1)/((x-3)²)=(-7)/((x-3)²).

Rappel de cours : ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v². Attention à l'ordre : $u^{\prime }v$u'v MOINS $u{v}^{\prime }$uv'.

Correction détaillée

1. 1

   Formule ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$(1/v)'=-v'/v² avec $v=x^2+1$v=x²+1, $v^{\prime }=2x$v'=2x.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$f'(x)=-2x/((x²+1)²).

Rappel de cours : ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$(1/v)'=-v'/v². Cas particulier du quotient avec $u=1$u=1.

Correction détaillée

1. 1

   Formule ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹ avec $u=2x-1$u=2x-1, $u^{\prime }=2$u'=2, $n=3$n=3.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=3\times 2\times (2x-1{)}^2=6(2x-1{)}^2$f'(x)=3× 2×(2x-1)²=6(2x-1)².

Rappel de cours : ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹ : on multiplie par la dérivée de l'intérieur $u^{\prime }$u'.

Correction détaillée

1. 1

   Produit $u=x^2$u=x² ($u^{\prime }=2x$u'=2x), $v=\sqrt{x}$v= √x ($v^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$v'=1/(2 √x )).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=2x\sqrt{x}+x^2\times \frac{1}{2\sqrt{x}}=2x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2\sqrt{x}}$f'(x)=2x √x +x²×1/(2 √x )=2x √x +x²/(2 √x ).

3. 3

   (On peut simplifier : $\frac{x^2}{2\sqrt{x}}=\frac{x\sqrt{x}}{2}$x²/(2 √x )=(x √x )/2, d'où $f^{\prime }(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x\sqrt{x}}{2}=\frac{5x\sqrt{x}}{2}$f'(x)=2x √x +(x √x )/2=(5x √x )/2.)

Rappel de cours : On applique la règle du produit, puis on simplifie. $\frac{x^2}{\sqrt{x}}=x\sqrt{x}$x²/( √x )=x √x.

Correction détaillée

1. 1

   Là où la courbe monte, $f$f est croissante, donc $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 ; là où elle descend, $f^{\prime }(x)<0$f'(x)<0.

2. 2

   La courbe monte sur $]-2;-1[$]-2;-1[, descend sur $]-1;1[$]-1;1[, remonte sur $]1;2[$]1;2[.

3. 3

   Donc $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 sur $]-2;-1[\cup ]1;2[$]-2;-1[∪]1;2[ et $f^{\prime }(x)<0$f'(x)<0 sur $]-1;1[$]-1;1[.

4. 4

   Aux sommets (max en $x=-1$x=-1, min en $x=1$x=1), la tangente est horizontale : $f^{\prime }(-1)=0$f'(-1)=0 et $f^{\prime }(1)=0$f'(1)=0.

Rappel de cours : Le signe de $f^{\prime }$f' traduit les variations de $f$f : croissante $\Rightarrow f^{\prime }>0$⇒ f'>0, décroissante $\Rightarrow f^{\prime }<0$⇒ f'<0, extremum $\Rightarrow f^{\prime }=0$⇒ f'=0.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$f'(x)=3x²-6x.

2. 2

   On factorise par $3x$3x : $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$f'(x)=3x(x-2).

Rappel de cours : Factoriser $f^{\prime }$f' prépare l'étude de son signe (et donc des variations de $f$f).

Correction détaillée

1. 1

   $u=x^2$u=x² ($u^{\prime }=2x$u'=2x), $v=x+1$v=x+1 ($v^{\prime }=1$v'=1).

   $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x+1)-x^2\times 1}{(x+1{)}^2}$f'(x)=(2x(x+1)-x²× 1)/((x+1)²).

2. 2

   Numérateur : $2x^2+2x-x^2=x^2+2x=x(x+2)$2x²+2x-x²=x²+2x=x(x+2).

3. 3

   $f^{\prime }(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$f'(x)=(x(x+2))/((x+1)²).

Rappel de cours : Après la règle du quotient, on développe et on factorise le numérateur : son signe donnera les variations.

Correction détaillée

1. 1

   Formule ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$( √u )'=u'/(2 √u ) avec $u=x^2+1$u=x²+1, $u^{\prime }=2x$u'=2x.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$f'(x)=2x/(2√(x²+1))=x/(√(x²+1)).

Rappel de cours : ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$( √u )'=u'/(2 √u ). Le dénominateur $\sqrt{x^2+1}>0$√(x²+1)>0, donc $f^{\prime }$f' a le signe de $x$x.

Correction détaillée

1. 1

   $u=x-1$u=x-1 ($u^{\prime }=1$u'=1), $v=x^2+1$v=x²+1 ($v^{\prime }=2x$v'=2x).

   $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-(x-1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$f'(x)=(1·(x²+1)-(x-1)· 2x)/((x²+1)²).

2. 2

   Numérateur : $x^2+1-(2x^2-2x)=x^2+1-2x^2+2x=-x^2+2x+1$x²+1-(2x²-2x)=x²+1-2x²+2x=-x²+2x+1.

3. 3

   Donc $f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1{)}^2}$f'(x)=(-x²+2x+1)/((x²+1)²), comme demandé.

Rappel de cours : « Montrer que $f^{\prime }(x)=\dots$f'(x)=… » : appliquer la règle du quotient et développer soigneusement le numérateur.

Erreur fréquente : Bien distribuer le signe $-$- devant $(x-1)\times 2x$(x-1)× 2x : $-(2x^2-2x)=-2x^2+2x$-(2x²-2x)=-2x²+2x.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-3$f'(x)=3x²-3.

2. 2

   $f^{\prime \prime }(x)$f''(x) est la dérivée de $f^{\prime }$f' : $f^{\prime \prime }(x)=6x$f''(x)=6x.

Rappel de cours : La dérivée seconde $f^{\prime \prime }$f'' est la dérivée de $f^{\prime }$f' : on dérive deux fois.