Exercices corrigés : Fonction dérivée — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   On dérive terme à terme avec $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹.

2. 2

   $(4x^3{)}^{\prime }=12x^2$(4x³)'=12x², $(-2x^2{)}^{\prime }=-4x$(-2x²)'=-4x, $(5x{)}^{\prime }=5$(5x)'=5, $(-7{)}^{\prime }=0$(-7)'=0.

3. 3

   $f^{\prime }(x)=12x^2-4x+5$f'(x)=12x²-4x+5.

Rappel de cours : $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ ; la dérivée d'une constante est nulle ; on dérive terme à terme.

Correction détaillée

1. 1

   ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x² et ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$f'(x)=-1/x²+1/(2 √x ).

Rappel de cours : Dérivées de référence : ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x², ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ).

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3\times \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2\sqrt{x}}$f'(x)=3×1/(2 √x )=3/(2 √x ).

2. 2

   $g(x)=5\times \frac{1}{x}$g(x)=5×1/x, donc $g^{\prime }(x)=5\times \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{5}{x^2}$g'(x)=5×(-1/x²)=-5/x².

Rappel de cours : $(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$(k u)'=k u' : un coefficient constant se conserve dans la dérivée.

Correction détaillée

1. 1

   On dérive terme à terme avec $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹.

2. 2

   $(x^5{)}^{\prime }=5x^4$(x⁵)'=5x⁴, $(-3x^4{)}^{\prime }=-12x^3$(-3x⁴)'=-12x³, ${\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}$(x/2)'=1/2, $(-1{)}^{\prime }=0$(-1)'=0.

Rappel de cours : $(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$(ku)'=ku' et $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$(u+v)'=u'+v' ; la dérivée d'une constante est nulle.

Correction détaillée

1. 1

   $(2x^2{)}^{\prime }=4x$(2x²)'=4x.

2. 2

   ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x², donc ${\left(-\frac{3}{x}\right)}^{\prime }=-3\times \left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{3}{x^2}$(-3/x)'=-3×(-1/x²)=3/x².

Rappel de cours : ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x².

Erreur fréquente : Deux signes moins : $-3\times (-\frac{1}{x^2})$-3×(-1/x²) est positif.

Correction détaillée

1. 1

   Produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv' avec $u=x^2+1$u=x²+1 ($u^{\prime }=2x$u'=2x), $v=3x-2$v=3x-2 ($v^{\prime }=3$v'=3).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=2x(3x-2)+(x^2+1)\times 3=6x^2-4x+3x^2+3=9x^2-4x+3$f'(x)=2x(3x-2)+(x²+1)× 3=6x²-4x+3x²+3=9x²-4x+3.

Rappel de cours : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv'. Développer et réduire pour finir.

Erreur fréquente : $(uv{)}^{\prime }\ne u^{\prime }{v}^{\prime }$(uv)'≠ u'v' : il y a deux termes. Oublier l'un d'eux est l'erreur classique.

Correction détaillée

1. 1

   Quotient ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v² avec $u=2x+1$u=2x+1 ($u^{\prime }=2$u'=2), $v=x-3$v=x-3 ($v^{\prime }=1$v'=1).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)\times 1}{(x-3{)}^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3{)}^2}=\frac{-7}{(x-3{)}^2}$f'(x)=(2(x-3)-(2x+1)× 1)/((x-3)²)=(2x-6-2x-1)/((x-3)²)=(-7)/((x-3)²).

Rappel de cours : ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v². Attention à l'ordre : $u^{\prime }v$u'v MOINS $u{v}^{\prime }$uv'.

Correction détaillée

1. 1

   Formule ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$(1/v)'=-v'/v² avec $v=x^2+1$v=x²+1, $v^{\prime }=2x$v'=2x.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$f'(x)=-2x/((x²+1)²).

Rappel de cours : ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$(1/v)'=-v'/v². Cas particulier du quotient avec $u=1$u=1.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=g(3x+1)$f(x)=g(3x+1) avec $g(X)=\sqrt{X}$g(X)= √X, $g^{\prime }(X)=\frac{1}{2\sqrt{X}}$g'(X)=1/(2 √X ).

2. 2

   Règle : $(g(ax+b){)}^{\prime }=a{g}^{\prime }(ax+b)$(g(ax+b))'=a g'(ax+b), avec $a=3$a=3.

3. 3

   $f^{\prime }(x)=3\times \frac{1}{2\sqrt{3x+1}}=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$f'(x)=3×1/(2√(3x+1))=3/(2√(3x+1)).

Rappel de cours : $(g(ax+b){)}^{\prime }=a{g}^{\prime }(ax+b)$(g(ax+b))'=a g'(ax+b) : ne pas oublier le facteur $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   Produit $uv$uv avec $u=x$u=x, $v=\sqrt{x}$v= √x, $u^{\prime }=1$u'=1, $v^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$v'=1/(2 √x ).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=1\times \sqrt{x}+x\times \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}$f'(x)=1× √x +x×1/(2 √x )= √x +( √x )/2, car $\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$x/( √x )= √x.

3. 3

   $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$f'(x)=3/2 √x.

Rappel de cours : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv'.

Erreur fréquente : La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées ($1\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$1×1/(2 √x ) serait faux).

Correction détaillée

1. 1

   Formule ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹ avec $u=2x-1$u=2x-1, $u^{\prime }=2$u'=2, $n=3$n=3.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=3\times 2\times (2x-1{)}^2=6(2x-1{)}^2$f'(x)=3× 2×(2x-1)²=6(2x-1)².

Rappel de cours : ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹ : on multiplie par la dérivée de l'intérieur $u^{\prime }$u'.

Correction détaillée

1. 1

   Produit $u=x^2$u=x² ($u^{\prime }=2x$u'=2x), $v=\sqrt{x}$v= √x ($v^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$v'=1/(2 √x )).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=2x\sqrt{x}+x^2\times \frac{1}{2\sqrt{x}}=2x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2\sqrt{x}}$f'(x)=2x √x +x²×1/(2 √x )=2x √x +x²/(2 √x ).

3. 3

   (On peut simplifier : $\frac{x^2}{2\sqrt{x}}=\frac{x\sqrt{x}}{2}$x²/(2 √x )=(x √x )/2, d'où $f^{\prime }(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x\sqrt{x}}{2}=\frac{5x\sqrt{x}}{2}$f'(x)=2x √x +(x √x )/2=(5x √x )/2.)

Rappel de cours : On applique la règle du produit, puis on simplifie. $\frac{x^2}{\sqrt{x}}=x\sqrt{x}$x²/( √x )=x √x.

Correction détaillée

1. 1

   Là où la courbe monte, $f$f est croissante, donc $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 ; là où elle descend, $f^{\prime }(x)<0$f'(x)<0.

2. 2

   La courbe monte sur $]-2;-1[$]-2;-1[, descend sur $]-1;1[$]-1;1[, remonte sur $]1;2[$]1;2[.

3. 3

   Donc $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 sur $]-2;-1[\cup ]1;2[$]-2;-1[∪]1;2[ et $f^{\prime }(x)<0$f'(x)<0 sur $]-1;1[$]-1;1[.

4. 4

   Aux sommets (max en $x=-1$x=-1, min en $x=1$x=1), la tangente est horizontale : $f^{\prime }(-1)=0$f'(-1)=0 et $f^{\prime }(1)=0$f'(1)=0.

Rappel de cours : Le signe de $f^{\prime }$f' traduit les variations de $f$f : croissante $\Rightarrow f^{\prime }>0$⇒ f'>0, décroissante $\Rightarrow f^{\prime }<0$⇒ f'<0, extremum $\Rightarrow f^{\prime }=0$⇒ f'=0.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$f'(x)=3x²-6x.

2. 2

   On factorise par $3x$3x : $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$f'(x)=3x(x-2).

Rappel de cours : Factoriser $f^{\prime }$f' prépare l'étude de son signe (et donc des variations de $f$f).

Correction détaillée

1. 1

   Quotient avec $u=x$u=x, $v=x^2+1$v=x²+1 (jamais nul), $u^{\prime }=1$u'=1, $v^{\prime }=2x$v'=2x.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+1)-x\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$f'(x)=((x²+1)-x× 2x)/((x²+1)²)=(1-x²)/((x²+1)²).

3. 3

   Le dénominateur est strictement positif : $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $1-x^2=(1-x)(1+x)$1-x²=(1-x)(1+x), positif sur $]-1;1[$]-1 ;1[, négatif ailleurs.

Rappel de cours : Après dérivation d'un quotient, le dénominateur au carré est positif : seul le numérateur décide du signe.

Correction détaillée

1. 1

   $u=x^2$u=x² ($u^{\prime }=2x$u'=2x), $v=x+1$v=x+1 ($v^{\prime }=1$v'=1).

   $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x+1)-x^2\times 1}{(x+1{)}^2}$f'(x)=(2x(x+1)-x²× 1)/((x+1)²).

2. 2

   Numérateur : $2x^2+2x-x^2=x^2+2x=x(x+2)$2x²+2x-x²=x²+2x=x(x+2).

3. 3

   $f^{\prime }(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$f'(x)=(x(x+2))/((x+1)²).

Rappel de cours : Après la règle du quotient, on développe et on factorise le numérateur : son signe donnera les variations.

Correction détaillée

1. 1

   Produit $uv$uv avec $u=x+1$u=x+1 ($u^{\prime }=1$u'=1) et $v=\sqrt{x}$v= √x ($v^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$v'=1/(2 √x )).

2. 2

   $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}+\frac{x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{2x+x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+1}{2\sqrt{x}}$f'(x)= √x +(x+1)/(2 √x )=(2x+x+1)/(2 √x )=(3x+1)/(2 √x ).

3. 3

   Pour $x>0$x>0, numérateur et dénominateur sont positifs : $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0.

Rappel de cours : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$(uv)'=u'v+uv' et ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ) ; on réduit au même dénominateur en utilisant $\sqrt{x}\times \sqrt{x}=x$√x × √x =x.

Correction détaillée

1. 1

   $u=x-1$u=x-1 ($u^{\prime }=1$u'=1), $v=x^2+1$v=x²+1 ($v^{\prime }=2x$v'=2x).

   $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-(x-1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$f'(x)=(1·(x²+1)-(x-1)· 2x)/((x²+1)²).

2. 2

   Numérateur : $x^2+1-(2x^2-2x)=x^2+1-2x^2+2x=-x^2+2x+1$x²+1-(2x²-2x)=x²+1-2x²+2x=-x²+2x+1.

3. 3

   Donc $f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1{)}^2}$f'(x)=(-x²+2x+1)/((x²+1)²), comme demandé.

Rappel de cours : « Montrer que $f^{\prime }(x)=\dots$f'(x)=… » : appliquer la règle du quotient et développer soigneusement le numérateur.

Erreur fréquente : Bien distribuer le signe $-$- devant $(x-1)\times 2x$(x-1)× 2x : $-(2x^2-2x)=-2x^2+2x$-(2x²-2x)=-2x²+2x.

Correction détaillée

1. 1

   Formule ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$(1/v)'=-v'/v² avec $v=x^2+1$v=x²+1, $v^{\prime }=2x$v'=2x : $f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$f'(x)=-2x/((x²+1)²).

2. 2

   $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $-x$-x : $f$f croît sur $]-\infty ;0]$]-∞ ;0] et décroît sur $[0;+\infty [$[0 ;+∞[.

3. 3

   Maximum en $0$0 : $f(0)=1$f(0)=1.

Rappel de cours : ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$(1/v)'=-v'/v², valable là où $v$v ne s'annule pas.

Correction détaillée

1. 1

   1) $u=x^2+3$u=x²+3, $v=x-1$v=x-1 : $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$f'(x)=(2x(x-1)-(x²+3))/((x-1)²)=(x²-2x-3)/((x-1)²).

2. 2

   Et $(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3$(x-3)(x+1)=x²+x-3x-3=x²-2x-3.

3. 3

   2) Sur $]1;+\infty [$]1 ;+∞[, $x+1>0$x+1>0 et $(x-1{)}^2>0$(x-1)²>0 : $f^{\prime }(x)$f'(x) a le signe de $x-3$x-3.

4. 4

   $f$f est décroissante sur $]1;3]$]1 ;3] et croissante sur $[3;+\infty [$[3 ;+∞[.

   Minimum : $f(3)=\frac{12}{2}=6$f(3)=12/2=6.

Rappel de cours : Factoriser la dérivée permet de lire directement son signe.