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Notion

Le tableau de variation

Un tableau de variations résume, sous forme d'un tableau, le comportement d'une fonction sur son domaine : il indique le signe de la dérivée f' et, en dessous, le sens de variation de f au moyen de flèches montantes (croissance) et descendantes (décroissance). On y reporte aussi les valeurs remarquables : bornes du domaine, extremums, limites. Pour le construire, on calcule f', on résout f'(x)=0, on étudie son signe, puis on traduit ce signe en variations. Le tableau de variations donne une vision synthétique et complète de la fonction : extremums, allure de la courbe, nombre de solutions d'une équation. C'est l'aboutissement de l'étude d'une fonction et un attendu constant au bac.

Définitions

Tableau de variation
C'est un tableau à trois lignes : la première donne les valeurs de x (bornes et valeurs où f' s'annule), la deuxième le signe de f'(x), la troisième le sens de variation de f avec des flèches (montante ou descendante).
Sens de variation
Une fonction est croissante sur un intervalle si elle « monte » (flèche vers le haut), décroissante si elle « descend » (flèche vers le bas). Le signe de f' le détermine.
Extremum
Un extremum est un maximum (point le plus haut) ou un minimum (point le plus bas) local. Il apparaît là où la fonction change de sens, c'est-à-dire là où f' change de signe.

Formules

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Règle : signe de f' et variations →f'(x) > 0 ⇒ f ↗ f'(x) < 0 ⇒ f ↘Le signe de la dérivée donne le sens de variation.Extremum et changement de signe →f' change de signe en x₀ ⇒ f a un extremum en x₀Un extremum apparaît là où la dérivée change de signe.

Méthodes

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Faire un tableau de variation →

4 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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1

Lire un tableau de variation

Niveau 1 · Application directe
Le tableau de variation d'une fonction f indique : f décroissante sur ]-∞ ;2] puis croissante sur [2 ;+∞[, avec f(2) = -3. Quel est l'extremum de f et de quelle nature ?
Voir la correction
  1. 1.
    La fonction descend puis monte : elle atteint son point le plus bas en x = 2.
    → Extremum et changement de signe
  2. 2.
    C'est donc un minimum, égal à f(2) = -3.
Réponse : Minimum égal à -3, atteint en x = 2.

Méthode utilisée : On lit l'extremum et l'abscisse où il est atteint dans le tableau.

2

Tableau d'une parabole

Niveau 2 · Méthode complète
Dresser le tableau de variation de f(x) = -x² + 2x + 3.
-2-11234-6-5-4-3-2-112345max
Voir la correction
  1. 1.
    f'(x) = -2x + 2, qui s'annule en x = 1.
  2. 2.
    f'(x) > 0 pour x < 1 (f croît), f'(x) < 0 pour x > 1 (f décroît).
    → Règle : signe de f' et variations
  3. 3.
    Changement de + à - en 1 : maximum f(1) = -1 + 2 + 3 = 4.
    → Extremum et changement de signe
Réponse : f croissante sur ]-∞ ;1], décroissante sur [1 ;+∞[ ; maximum 4 en 1.
Faire les 10 exercices types sur tableau de variation8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi un tableau de variation, simplement ?

C'est une carte qui résume où une fonction monte et où elle descend. Image : comme le profil d'une étape de cyclisme, qui montre les montées et les descentes du parcours, sans avoir à tracer toute la route en détail.

Comment savoir si la fonction monte ou descend ?

On regarde le signe de la dérivée f'. Là où f'(x) est positif, la fonction monte (flèche vers le haut) ; là où f'(x) est négatif, elle descend (flèche vers le bas). C'est la règle de base pour remplir le tableau.

Que représentent les flèches du tableau ?

Une flèche qui monte signifie « fonction croissante » sur cet intervalle, une flèche qui descend « fonction décroissante ». Aux extrémités des flèches, on écrit les valeurs de la fonction (notamment les maximums et minimums).

Où sont les maximums et les minimums ?

Aux endroits où la fonction change de sens : là où elle arrête de monter pour descendre, c'est un maximum (un sommet) ; là où elle arrête de descendre pour monter, c'est un minimum (un creux). Cela correspond aux changements de signe de f'.

À quoi sert un tableau de variation ?

À comprendre une fonction d'un coup d'œil : trouver son maximum ou son minimum, savoir combien de fois elle croise une valeur, ou esquisser sa courbe. Très utile pour les problèmes d'optimisation, comme trouver le bénéfice maximal d'une entreprise.

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