Le nombre dérivé — exercices types corrigés

1. 1.
   Taux : $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h{)}^2-4}{h}$(f(2+h) - f(2))/h = ((2+h)² - 4)/h.

   → Taux de variation
2. 2.
   $(2+h{)}^2-4=4+4h+h^2-4=4h+h^2$(2+h)² - 4 = 4 + 4h + h² - 4 = 4h + h², donc le taux vaut $\frac{4h+h^2}{h}=4+h$(4h + h²)/h = 4 + h.

Méthode utilisée : Taux de variation $=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$=(f(a+h)-f(a))/h.

1. 1.
   On a trouvé le taux $\frac{(2+h{)}^2-4}{h}=4+h$((2+h)² - 4)/h = 4 + h.

   → Taux de variation
2. 2.
   On fait tendre $h$h vers $0$0 : $4+h\to 4$4 + h → 4.

   → Nombre dérivé
3. 3.
   Donc $f^{\prime }(2)=4$f'(2) = 4.

Méthode utilisée : $f^{\prime }(a)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$f'(a)=lim_h→ 0(f(a+h)-f(a))/h.

1. 1.
   $f(1)=3-1=2$f(1) = 3 - 1 = 2 et $f(1+h)=3(1+h{)}^2-(1+h)=3+6h+3h^2-1-h=2+5h+3h^2$f(1+h) = 3(1+h)² - (1+h) = 3 + 6h + 3h² - 1 - h = 2 + 5h + 3h².
2. 2.
   Taux : $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{5h+3h^2}{h}=5+3h$(f(1+h) - f(1))/h = (5h + 3h²)/h = 5 + 3h.

   → Taux de variation
3. 3.
   Quand $h\to 0$h → 0 : $5+3h\to 5$5 + 3h → 5, donc $f^{\prime }(1)=5$f'(1) = 5.

   → Nombre dérivé

1. 1.
   Le nombre dérivé $f^{\prime }(1)$f'(1) est la pente de la tangente en $a=1$a = 1.

   → Nombre dérivé
2. 2.
   Pente de la droite passant par $(1;2)$(1 ;2) et $(3;6)$(3 ;6) : $\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2$(6 - 2)/(3 - 1) = 4/2 = 2.
3. 3.
   Donc $f^{\prime }(1)=2$f'(1) = 2.

Méthode utilisée : $f^{\prime }(a)$f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en $a$a.

Erreur fréquente : Lire $f(a)$f(a) au lieu de la pente de la tangente.

1. 1.
   $\tau =\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}$τ = (f(3) - f(1))/(3 - 1) = (9 - 1)/2.

   → Taux de variation
2. 2.
   $=\frac{8}{2}=4$= 8/2 = 4.

1. 1.
   Taux : $\frac{(4+h{)}^2-16}{h}=\frac{8h+h^2}{h}=8+h$((4+h)² - 16)/h = (8h + h²)/h = 8 + h.

   → Taux de variation
2. 2.
   Quand $h\to 0$h → 0 : $8+h\to 8$8 + h → 8.

   → Nombre dérivé

1. 1.
   Taux : $\frac{(-1+h{)}^2-1}{h}=\frac{-2h+h^2}{h}=-2+h$((-1+h)² - 1)/h = (-2h + h²)/h = -2 + h.

   → Taux de variation
2. 2.
   $-2+h\to -2$-2 + h → -2 : la courbe descend en $-1$-1.

   → Nombre dérivé

Erreur fréquente : Oublier le signe : $f^{\prime }(-1)=2\times (-1)=-2$f'(-1)=2×(-1)=-2.

1. 1.
   Taux : $\frac{3(a+h)+2-(3a+2)}{h}=\frac{3h}{h}=3$(3(a+h) + 2 - (3a + 2))/h = 3h/h = 3.

   → Taux de variation
2. 2.
   Le taux est constant : $f^{\prime }(a)=3$f'(a) = 3 (la pente d'une droite est partout la même).

Méthode utilisée : La dérivée d'une fonction affine est constante, égale à sa pente.

1. 1.
   $f(2+h)=(2+h{)}^2+1=5+4h+h^2$f(2+h) = (2+h)² + 1 = 5 + 4h + h², $f(2)=5$f(2) = 5.
2. 2.
   Taux : $\frac{4h+h^2}{h}=4+h\to 4$(4h + h²)/h = 4 + h → 4.

   → Nombre dérivé

1. 1.
   Taux : $\frac{d(3+h)-d(3)}{h}=\frac{(3+h{)}^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h$(d(3+h) - d(3))/h = ((3+h)² - 9)/h = (6h + h²)/h = 6 + h.

   → Taux de variation
2. 2.
   Quand $h\to 0$h → 0 : $6+h\to 6$6 + h → 6.

   → Nombre dérivé
3. 3.
   La vitesse instantanée à $3$3 s est $6$6 m/s.