Notion

L'extremum d'une fonction

Q: C'est quoi un extremum ?

C'est un maximum ou un minimum d'une fonction : un point où elle atteint localement sa plus grande ou plus petite valeur.

Q: Comment le trouver ?

On cherche où la dérivée s'annule, on vérifie qu'elle change de signe, puis on calcule la valeur f(x₀).

Q: f'(x₀) = 0 garantit-il un extremum ?

Non. Il faut un changement de signe de f'. Par exemple f(x) = x³ a f'(0) = 0 mais pas d'extremum, car f' reste positive.

Q: Quelle est la condition pour un extremum ?

La dérivée s'annule ET change de signe en ce point. Si f' passe de + à −, c'est un maximum ; de − à +, c'est un minimum.

Q: Extremum local ou global, quelle différence ?

Un extremum local est le plus haut ou bas sur un petit intervalle ; un extremum global l'est sur tout le domaine. Un extremum local n'est pas toujours global.

Un extremum d'une fonction est une valeur extrême qu'elle atteint : un maximum (la plus grande valeur) ou un minimum (la plus petite), sur un intervalle ou sur tout le domaine. On distingue les extremums locaux, atteints dans un voisinage, et globaux, sur tout l'ensemble d'étude. Pour une fonction dérivable, un extremum local se situe là où la dérivée $f^{'}$ f' s'annule en changeant de signe : passage de $+$ + à $-$ - pour un maximum, de $-$ - à $+$ + pour un minimum. On lit les extremums dans le tableau de variations. Ils servent à optimiser une grandeur (aire, coût, distance) et sont un objectif central de l'étude des fonctions.

Définitions

Extremum: C'est un maximum ou un minimum (local). Il se produit là où $f^{'}$ f' s'annule en changeant de signe.
Maximum et minimum: Un maximum est la plus grande valeur de $f$ f, un minimum la plus petite. « Local » signifie sur un petit intervalle, « global » sur tout le domaine.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Condition d'extremum →

f^{'} change de signe en x_{0} \Rightarrow f a un extremum en x_{0}

f' change de signe en x₀ ⇒ f a un extremum en x₀Annulation de f' avec changement de signe.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Trouver un extremum →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Minimum d'une parabole

Niveau 2 · Méthode complète

Trouver l'extremum de

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

f(x) = x² - 4x + 1.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0 ⟺ x = 2$ f'(x) = 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2, changement $- \to +$ -→+.
→ Condition d'extremum
2.
Minimum $f (2) = - 3$ f(2) = -3.

Réponse : Minimum

- 3

-3 en

x = 2

x = 2.

Méthode utilisée : $f^{'} (x) = 0$ f'(x)=0, puis nature donnée par le signe de $f^{'}$ f'.

Erreur fréquente : Oublier de préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.

Maximum

Niveau 2 · Méthode complète

Trouver l'extremum de

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3

f(x) = -x² + 2x + 3.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = - 2 x + 2 = 0 ⟺ x = 1$ f'(x) = -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1, changement $+ \to -$ +→-.
→ Condition d'extremum
2.
Maximum $f (1) = 4$ f(1) = 4.

Réponse : Maximum

4

4 en

x = 1

x = 1.

Méthode utilisée : $f^{'} (x) = 0$ f'(x)=0 ; ici $a < 0$ a<0 donc maximum.

Erreur fréquente : Conclure « minimum » alors que la parabole est tournée vers le bas.

Faire les 10 exercices types sur extremum d'une fonction8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi un extremum ?

C'est un maximum ou un minimum d'une fonction : un point où elle atteint localement sa plus grande ou plus petite valeur.

Comment le trouver ?

On cherche où la dérivée s'annule, on vérifie qu'elle change de signe, puis on calcule la valeur f(x₀).

f'(x₀) = 0 garantit-il un extremum ?

Non. Il faut un changement de signe de f'. Par exemple f(x) = x³ a f'(0) = 0 mais pas d'extremum, car f' reste positive.

Quelle est la condition pour un extremum ?

La dérivée s'annule ET change de signe en ce point. Si f' passe de + à −, c'est un maximum ; de − à +, c'est un minimum.

Extremum local ou global, quelle différence ?

Un extremum local est le plus haut ou bas sur un petit intervalle ; un extremum global l'est sur tout le domaine. Un extremum local n'est pas toujours global.

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