Exercices corrigés : Équation de tangente — Première spécialité

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1. 1

   Formule : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a).

2. 2

   $f^{\prime }(1)=2$f'(1)=2, $f(1)=1$f(1)=1 : $y=2(x-1)+1=2x-1$y=2(x-1)+1=2x-1.

Rappel de cours : Tangente en $a$a : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a). $f^{\prime }(a)$f'(a) = pente, $f(a)$f(a) = ordonnée du point de contact.

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1. 1

   $f^{\prime }(2)=2\times 2-3=1$f'(2)=2× 2-3=1 et $f(2)=4-6=-2$f(2)=4-6=-2.

2. 2

   $y=1\times (x-2)+(-2)=x-4$y=1×(x-2)+(-2)=x-4.

Rappel de cours : On calcule $f^{\prime }(a)$f'(a) et $f(a)$f(a), puis on remplace dans la formule.

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1. 1

   $f^{\prime }(0)=0$f'(0)=0 et $f(0)=0$f(0)=0.

2. 2

   $y=0\times (x-0)+0=0$y=0×(x-0)+0=0 : la tangente est l'axe des abscisses.

Rappel de cours : Une pente nulle donne une tangente horizontale. Ici elle passe par l'origine, donc $y=0$y=0.

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1. 1

   $f(4)=2$f(4)=2 et $f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{4}$f'(4)=1/(2× 2)=1/4.

2. 2

   $y=f^{\prime }(4)(x-4)+f(4)=\frac{1}{4}(x-4)+2=\frac{1}{4}x+1$y=f'(4)(x-4)+f(4)=1/4(x-4)+2=1/4x+1.

Rappel de cours : Tangente en $a$a : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a).

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1. 1

   $f^{\prime }(1)=-1$f'(1)=-1 et $f(1)=1$f(1)=1.

2. 2

   $y=-1(x-1)+1=-x+1+1=-x+2$y=-1(x-1)+1=-x+1+1=-x+2.

Rappel de cours : Même méthode pour toute fonction : il suffit de connaître $f^{\prime }(a)$f'(a) et $f(a)$f(a).

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1. 1

   Point de contact : $(a;f(a))=(-1;f(-1))=(-1;2)$(a ;f(a))=(-1 ;f(-1))=(-1 ;2).

2. 2

   Pente : $f^{\prime }(-1)=2\times (-1)=-2$f'(-1)=2×(-1)=-2.

Rappel de cours : Le point de contact a pour coordonnées $(a;f(a))$(a;f(a)), la pente est $f^{\prime }(a)$f'(a).

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1. 1

   Tangente horizontale $⟺f^{\prime }(a)=0⟺2a-4=0⟺a=2$⇔ f'(a)=0 ⇔ 2a-4=0 ⇔ a=2.

2. 2

   $f(2)=4-8+1=-3$f(2)=4-8+1=-3.

   Tangente horizontale au point $(2;-3)$(2 ;-3), d'équation $y=-3$y=-3.

Rappel de cours : Tangente horizontale $⟺f^{\prime }(a)=0$⇔ f'(a)=0. C'est souvent un extremum.

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1. 1

   $y=-1\times (x-2)+3=-x+5$y=-1×(x-2)+3=-x+5.

2. 2

   Avec l'axe des ordonnées : $x=0$x=0, $y=5$y=5, point $(0;5)$(0 ;5).

   Avec l'axe des abscisses : $-x+5=0$-x+5=0, point $(5;0)$(5 ;0).

Rappel de cours : Il suffit de connaître $f(a)$f(a) et $f^{\prime }(a)$f'(a) pour écrire la tangente, même sans l'expression de $f$f.

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1. 1

   Quotient $\frac{u}{v}$u/v avec $u=x+1$u=x+1, $v=x-1$v=x-1, $u^{\prime }=v^{\prime }=1$u'=v'=1 : $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$f'(x)=((x-1)-(x+1))/((x-1)²)=(-2)/((x-1)²).

2. 2

   $f(3)=\frac{4}{2}=2$f(3)=4/2=2 et $f^{\prime }(3)=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$f'(3)=(-2)/4=-1/2.

3. 3

   $y=-\frac{1}{2}(x-3)+2=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$y=-1/2(x-3)+2=-1/2x+7/2.

Rappel de cours : ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$(u/v)'=(u'v-uv')/v².

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1. 1

   Parallèle à $y=4x-1$y=4x-1 $⟺$⇔ même pente $4$4, donc $f^{\prime }(a)=4$f'(a)=4.

2. 2

   $2a=4\Rightarrow a=2$2a=4 ⇒ a=2.

   $f(2)=4$f(2)=4, tangente au point $(2;4)$(2 ;4).

3. 3

   Équation : $y=4(x-2)+4=4x-4$y=4(x-2)+4=4x-4.

Rappel de cours : Tangente parallèle à une droite de pente $m$m : résoudre $f^{\prime }(a)=m$f'(a)=m.

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1. 1

   $f^{\prime }(a)=3⟺3a^2=3⟺a^2=1⟺a=\pm 1$f'(a)=3 ⇔ 3a²=3 ⇔ a²=1 ⇔ a=± 1.

2. 2

   Deux points : $(1;1)$(1 ;1) et $(-1;-1)$(-1 ;-1).

Rappel de cours : L'équation $f^{\prime }(a)=m$f'(a)=m peut avoir plusieurs solutions : il y a alors plusieurs tangentes de même pente.

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1. 1

   $f^{\prime }(3)=4$f'(3)=4, $f(3)=9-6=3$f(3)=9-6=3.

   Tangente : $y=4(x-3)+3=4x-9$y=4(x-3)+3=4x-9.

2. 2

   Pour $x=0$x=0 : $y=4\times 0-9=-9$y=4× 0-9=-9.

Rappel de cours : Une fois la tangente écrite, on l'utilise comme une droite ordinaire pour calculer des valeurs.

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1. 1

   On étudie le signe de $f(x)-y=x^2-0=x^2$f(x)-y=x²-0=x².

2. 2

   $x^2\ge 0$x²≥ 0 pour tout $x$x : la courbe est au-dessus de sa tangente (contact en $0$0).

Rappel de cours : Position courbe/tangente : on étudie le signe de $f(x)-(\text{eˊquation tangente})$f(x)-( équation tangente ). Positif = courbe au-dessus.

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1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-3$f'(x)=3x²-3.

   Tangente parallèle à $y=9x$y=9x $⟺f^{\prime }(a)=9⟺3a^2=12⟺a=2$⇔ f'(a)=9⇔ 3a²=12⇔ a=2 ou $a=-2$a=-2.

2. 2

   En $a=2$a=2 : $f(2)=8-6=2$f(2)=8-6=2, tangente $y=9(x-2)+2=9x-16$y=9(x-2)+2=9x-16.

3. 3

   En $a=-2$a=-2 : $f(-2)=-8+6=-2$f(-2)=-8+6=-2, tangente $y=9(x+2)-2=9x+16$y=9(x+2)-2=9x+16.

Rappel de cours : Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur : on résout $f^{\prime }(a)=m$f'(a)=m.

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1. 1

   La tangente en $4$4 est $y=\frac{1}{4}(x-4)+2$y=1/4(x-4)+2 ($f(4)=2$f(4)=2, $f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}$f'(4)=1/4).

2. 2

   Près de $4$4, la courbe est très proche de sa tangente : $\sqrt{4,1}\approx \frac{1}{4}\times 0,1+2=2,025$√(4,1)≈1/4× 0,1+2=2,025.

3. 3

   Calculatrice : $\sqrt{4,1}\approx 2,02485$√(4,1)≈ 2,02485.

   L'erreur est d'environ $0,00015$0,00015.

Rappel de cours : Approximation affine : $f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h$f(a+h)≈ f(a)+f'(a) h pour $h$h proche de $0$0.

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1. 1

   On étudie $g(x)=f(x)-(3x-2)=x^3-3x+2$g(x)=f(x)-(3x-2)=x³-3x+2.

2. 2

   $x=1$x=1 est racine ($1-3+2=0$1-3+2=0).

   On factorise : $x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1{)}^2(x+2)$x³-3x+2=(x-1)(x²+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)²(x+2).

3. 3

   $(x-1{)}^2\ge 0$(x-1)²≥ 0, donc $g(x)$g(x) a le signe de $x+2$x+2 : négatif si $x<-2$x<-2, positif si $x>-2$x>-2.

4. 4

   La courbe est en dessous de la tangente sur $]-\infty ;-2[$]-∞;-2[, au-dessus sur $]-2;+\infty [$]-2;+∞[ (contact en $1$1).

Rappel de cours : L'abscisse de contact $a$a est racine double de $f(x)-(\text{tangente})$f(x)-( tangente ) : on factorise par $(x-a{)}^2$(x-a)².

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1. 1

   Tangente en $a$a : $y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$y=2a(x-a)+a²=2ax-a².

2. 2

   Elle passe par $A(0;-1)$A(0;-1) : $-1=2a\times 0-a^2=-a^2$-1=2a× 0-a²=-a², donc $a^2=1$a²=1, $a=\pm 1$a=± 1.

3. 3

   $a=1$a=1 : $y=2x-1$y=2x-1.

   $a=-1$a=-1 : $y=-2x-1$y=-2x-1.

Rappel de cours : On écrit la tangente en un point inconnu $a$a, puis on impose le passage par le point donné : équation en $a$a.

Erreur fréquente : $A(0;-1)$A(0;-1) n'est pas sur la courbe : le point de contact $a$a est à déterminer, ce n'est pas $x=0$x=0.

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1. 1

   Contact $⟺$⇔ la droite touche la courbe en un point unique : $x^2=2x-1$x²=2x-1, soit $x^2-2x+1=0$x²-2x+1=0, $(x-1{)}^2=0$(x-1)²=0.

2. 2

   Racine double $x=1$x=1 : il y a bien un contact unique, donc tangence.

   Le point de contact est $(1;1)$(1 ;1).

3. 3

   On vérifie : $f^{\prime }(1)=2$f'(1)=2 = pente de la droite. ✓

Rappel de cours : Tangence $⟺$⇔ le système courbe/droite donne une racine double (discriminant nul).

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1. 1

   $f^{\prime }(0)=e^0=1$f'(0)=e⁰=1, $f(0)=1$f(0)=1 : tangente $y=1\times (x-0)+1=x+1$y=1×(x-0)+1=x+1.

2. 2

   On étudie $g(x)=e^x-x-1$g(x)=e^(x)-x-1 : $g^{\prime }(x)=e^x-1$g'(x)=e^(x)-1, négative pour $x<0$x<0 et positive pour $x>0$x>0 (car $e^x<1⟺x<0$e^(x)<1⇔ x<0).

3. 3

   $g$g admet donc un minimum en $0$0, égal à $g(0)=0$g(0)=0 : $g(x)\ge 0$g(x)≥ 0, c'est-à-dire $e^x\ge x+1$e^(x)≥ x+1 pour tout réel $x$x.

   La courbe est au-dessus de sa tangente en $0$0.

Rappel de cours : La tangente à $\exp$exp en $0$0 est $y=x+1$y=x+1 : inégalité fondamentale $e^x\ge x+1$e^(x)≥ x+1, réutilisée tout au long du lycée.

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1. 1

   La tangente en $1$1 passe par le point de contact : $f(1)=3\times 1-1=2$f(1)=3× 1-1=2, donc $a+b=2$a+b=2.

2. 2

   Son coefficient directeur est $f^{\prime }(1)$f'(1).

   Or $f^{\prime }(x)=2ax+b$f'(x)=2ax+b, donc $f^{\prime }(1)=2a+b=3$f'(1)=2a+b=3.

3. 3

   En soustrayant : $(2a+b)-(a+b)=1$(2a+b)-(a+b)=1, donc $a=1$a=1, puis $b=1$b=1.

4. 4

   Vérification : $f(x)=x^2+x$f(x)=x²+x, $f(1)=2$f(1)=2, $f^{\prime }(1)=3$f'(1)=3, tangente $y=3(x-1)+2=3x-1$y=3(x-1)+2=3x-1.

Rappel de cours : Une équation de tangente donne deux informations : $f(a)$f(a) (point de contact) et $f^{\prime }(a)$f'(a) (pente).