Exercices corrigés : Équation de tangente — Première spécialité

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1. 1

   Formule : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a).

2. 2

   $f^{\prime }(1)=2$f'(1)=2, $f(1)=1$f(1)=1 : $y=2(x-1)+1=2x-1$y=2(x-1)+1=2x-1.

Rappel de cours : Tangente en $a$a : $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$y=f'(a)(x-a)+f(a). $f^{\prime }(a)$f'(a) = pente, $f(a)$f(a) = ordonnée du point de contact.

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1. 1

   $f^{\prime }(2)=2\times 2-3=1$f'(2)=2× 2-3=1 et $f(2)=4-6=-2$f(2)=4-6=-2.

2. 2

   $y=1\times (x-2)+(-2)=x-4$y=1×(x-2)+(-2)=x-4.

Rappel de cours : On calcule $f^{\prime }(a)$f'(a) et $f(a)$f(a), puis on remplace dans la formule.

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1. 1

   $f^{\prime }(0)=0$f'(0)=0 et $f(0)=0$f(0)=0.

2. 2

   $y=0\times (x-0)+0=0$y=0×(x-0)+0=0 : la tangente est l'axe des abscisses.

Rappel de cours : Une pente nulle donne une tangente horizontale. Ici elle passe par l'origine, donc $y=0$y=0.

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1. 1

   $f^{\prime }(1)=-1$f'(1)=-1 et $f(1)=1$f(1)=1.

2. 2

   $y=-1(x-1)+1=-x+1+1=-x+2$y=-1(x-1)+1=-x+1+1=-x+2.

Rappel de cours : Même méthode pour toute fonction : il suffit de connaître $f^{\prime }(a)$f'(a) et $f(a)$f(a).

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1. 1

   Point de contact : $(a;f(a))=(-1;f(-1))=(-1;2)$(a ;f(a))=(-1 ;f(-1))=(-1 ;2).

2. 2

   Pente : $f^{\prime }(-1)=2\times (-1)=-2$f'(-1)=2×(-1)=-2.

Rappel de cours : Le point de contact a pour coordonnées $(a;f(a))$(a;f(a)), la pente est $f^{\prime }(a)$f'(a).

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1. 1

   Tangente horizontale $⟺f^{\prime }(a)=0⟺2a-4=0⟺a=2$⇔ f'(a)=0 ⇔ 2a-4=0 ⇔ a=2.

2. 2

   $f(2)=4-8+1=-3$f(2)=4-8+1=-3.

   Tangente horizontale au point $(2;-3)$(2 ;-3), d'équation $y=-3$y=-3.

Rappel de cours : Tangente horizontale $⟺f^{\prime }(a)=0$⇔ f'(a)=0. C'est souvent un extremum.

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1. 1

   Parallèle à $y=4x-1$y=4x-1 $⟺$⇔ même pente $4$4, donc $f^{\prime }(a)=4$f'(a)=4.

2. 2

   $2a=4\Rightarrow a=2$2a=4 ⇒ a=2.

   $f(2)=4$f(2)=4, tangente au point $(2;4)$(2 ;4).

3. 3

   Équation : $y=4(x-2)+4=4x-4$y=4(x-2)+4=4x-4.

Rappel de cours : Tangente parallèle à une droite de pente $m$m : résoudre $f^{\prime }(a)=m$f'(a)=m.

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1. 1

   $f^{\prime }(a)=3⟺3a^2=3⟺a^2=1⟺a=\pm 1$f'(a)=3 ⇔ 3a²=3 ⇔ a²=1 ⇔ a=± 1.

2. 2

   Deux points : $(1;1)$(1 ;1) et $(-1;-1)$(-1 ;-1).

Rappel de cours : L'équation $f^{\prime }(a)=m$f'(a)=m peut avoir plusieurs solutions : il y a alors plusieurs tangentes de même pente.

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1. 1

   $f^{\prime }(3)=4$f'(3)=4, $f(3)=9-6=3$f(3)=9-6=3.

   Tangente : $y=4(x-3)+3=4x-9$y=4(x-3)+3=4x-9.

2. 2

   Pour $x=0$x=0 : $y=4\times 0-9=-9$y=4× 0-9=-9.

Rappel de cours : Une fois la tangente écrite, on l'utilise comme une droite ordinaire pour calculer des valeurs.

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1. 1

   On étudie le signe de $f(x)-y=x^2-0=x^2$f(x)-y=x²-0=x².

2. 2

   $x^2\ge 0$x²≥ 0 pour tout $x$x : la courbe est au-dessus de sa tangente (contact en $0$0).

Rappel de cours : Position courbe/tangente : on étudie le signe de $f(x)-(\text{eˊquation tangente})$f(x)-( équation tangente ). Positif = courbe au-dessus.

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1. 1

   On étudie $g(x)=f(x)-(3x-2)=x^3-3x+2$g(x)=f(x)-(3x-2)=x³-3x+2.

2. 2

   $x=1$x=1 est racine ($1-3+2=0$1-3+2=0).

   On factorise : $x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1{)}^2(x+2)$x³-3x+2=(x-1)(x²+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)²(x+2).

3. 3

   $(x-1{)}^2\ge 0$(x-1)²≥ 0, donc $g(x)$g(x) a le signe de $x+2$x+2 : négatif si $x<-2$x<-2, positif si $x>-2$x>-2.

4. 4

   La courbe est en dessous de la tangente sur $]-\infty ;-2[$]-∞;-2[, au-dessus sur $]-2;+\infty [$]-2;+∞[ (contact en $1$1).

Rappel de cours : L'abscisse de contact $a$a est racine double de $f(x)-(\text{tangente})$f(x)-( tangente ) : on factorise par $(x-a{)}^2$(x-a)².

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1. 1

   Tangente en $a$a : $y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$y=2a(x-a)+a²=2ax-a².

2. 2

   Elle passe par $A(0;-1)$A(0;-1) : $-1=2a\times 0-a^2=-a^2$-1=2a× 0-a²=-a², donc $a^2=1$a²=1, $a=\pm 1$a=± 1.

3. 3

   $a=1$a=1 : $y=2x-1$y=2x-1.

   $a=-1$a=-1 : $y=-2x-1$y=-2x-1.

Rappel de cours : On écrit la tangente en un point inconnu $a$a, puis on impose le passage par le point donné : équation en $a$a.

Erreur fréquente : $A(0;-1)$A(0;-1) n'est pas sur la courbe : le point de contact $a$a est à déterminer, ce n'est pas $x=0$x=0.

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1. 1

   Contact $⟺$⇔ la droite touche la courbe en un point unique : $x^2=2x-1$x²=2x-1, soit $x^2-2x+1=0$x²-2x+1=0, $(x-1{)}^2=0$(x-1)²=0.

2. 2

   Racine double $x=1$x=1 : il y a bien un contact unique, donc tangence.

   Le point de contact est $(1;1)$(1 ;1).

3. 3

   On vérifie : $f^{\prime }(1)=2$f'(1)=2 = pente de la droite. ✓

Rappel de cours : Tangence $⟺$⇔ le système courbe/droite donne une racine double (discriminant nul).

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1. 1

   $f^{\prime }(0)=e^0=1$f'(0)=e⁰=1, $f(0)=1$f(0)=1 : tangente $y=1\times (x-0)+1=x+1$y=1×(x-0)+1=x+1.

2. 2

   $\exp$exp étant convexe, sa courbe est au-dessus de sa tangente : $e^x\ge x+1$e^(x)≥ x+1 pour tout réel $x$x.

Rappel de cours : La tangente à $\exp$exp en $0$0 est $y=x+1$y=x+1 : inégalité fondamentale $e^x\ge x+1$e^(x)≥ x+1, réutilisée tout au long du lycée.