Exercices corrigés : Tableau de variation — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x)=2x-4.

   $f^{\prime }(x)=0⟺x=2$f'(x)=0 ⇔ x=2 ; $f^{\prime }(x)<0$f'(x)<0 si $x<2$x<2, $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 si $x>2$x>2.

2. 2

   Donc $f$f est décroissante sur $]-\infty ;2]$]-∞;2], croissante sur $[2;+\infty [$[2;+∞[.

3. 3

   Minimum en $x=2$x=2 : $f(2)=4-8+3=-1$f(2)=4-8+3=-1 (cohérent avec le graphique).

Rappel de cours : Variations à partir du signe de $f^{\prime }$f' : $f^{\prime }<0$f'<0 (décroissante), $f^{\prime }>0$f'>0 (croissante). Le minimum est au sommet.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }>0$f'>0 avant $1$1 : $f$f croissante sur $]-\infty ;1]$]-∞;1].

   $f^{\prime }<0$f'<0 après : $f$f décroissante sur $[1;+\infty [$[1;+∞[.

2. 2

   $f$f croît puis décroît : $x=1$x=1 est un maximum.

Rappel de cours : Le signe de $f^{\prime }$f' se lit directement en variations. Croissante puis décroissante $\Rightarrow$⇒ maximum.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=-2x+6$f'(x)=-2x+6.

   $f^{\prime }(x)=0⟺x=3$f'(x)=0 ⇔ x=3.

2. 2

   $f^{\prime }>0$f'>0 avant $3$3, $f^{\prime }<0$f'<0 après : $f$f croît puis décroît, donc $x=3$x=3 est un maximum.

3. 3

   $f(3)=-9+18-5=4$f(3)=-9+18-5=4.

Rappel de cours : Un extremum est atteint là où $f^{\prime }$f' s'annule en changeant de signe.

Correction détaillée

1. 1

   Maximum : $4$4, atteint en $x=1$x=1 (sommet du tableau).

2. 2

   Minimum : on compare les valeurs « basses » $f(-2)=-3$f(-2)=-3 et $f(5)=0$f(5)=0.

   Le minimum est $-3$-3, atteint en $x=-2$x=-2.

3. 3

   $f^{\prime }(x)\ge 0$f'(x)≥ 0 sur $[-2;1]$[-2 ;1] et $f^{\prime }(x)\le 0$f'(x)≤ 0 sur $[1;5]$[1 ;5] (si $f$f est dérivable, $f^{\prime }(1)=0$f'(1)=0).

Rappel de cours : Le minimum sur un intervalle fermé peut être atteint à une borne : il faut comparer les valeurs aux bornes.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1).

   Racines $-1$-1 et $1$1 ; $a=3>0$a=3>0 : $f^{\prime }>0$f'>0 à l'extérieur, $f^{\prime }<0$f'<0 entre.

2. 2

   $f$f croît sur $]-\infty ;-1]$]-∞;-1], décroît sur $[-1;1]$[-1;1], croît sur $[1;+\infty [$[1;+∞[.

3. 3

   Maximum local $f(-1)=-1+3=2$f(-1)=-1+3=2 ; minimum local $f(1)=1-3=-2$f(1)=1-3=-2 (voir graphique).

Rappel de cours : On factorise $f^{\prime }$f' pour lire son signe, puis on traduit en variations. Les extremums correspondent aux changements de signe de $f^{\prime }$f'.

Correction détaillée

1. 1

   $(x-3{)}^2>0$(x-3)²>0 et $-7<0$-7<0, donc $f^{\prime }(x)<0$f'(x)<0 pour tout $x\ne 3$x≠ 3.

2. 2

   $f$f est strictement décroissante sur $]3;+\infty [$]3;+∞[.

Rappel de cours : Pas besoin de calculer $f^{\prime }$f' si l'énoncé le donne : on étudie juste son signe.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=2x-2$f'(x)=2x-2, nulle en $1$1.

   $f^{\prime }<0$f'<0 sur $[0;1[$[0;1[, $f^{\prime }>0$f'>0 sur $]1;3]$]1;3] : minimum en $1$1.

2. 2

   $f(0)=0$f(0)=0, $f(1)=1-2=-1$f(1)=1-2=-1 (minimum), $f(3)=9-6=3$f(3)=9-6=3.

3. 3

   $f$f décroît de $0$0 à $-1$-1 sur $[0;1]$[0;1], croît de $-1$-1 à $3$3 sur $[1;3]$[1;3].

Rappel de cours : Sur un intervalle fermé, on indique aussi les valeurs aux bornes dans le tableau.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=\frac{1\times (x+2)-(x-1)\times 1}{(x+2{)}^2}=\frac{3}{(x+2{)}^2}$f'(x)=(1×(x+2)-(x-1)× 1)/((x+2)²)=3/((x+2)²).

2. 2

   Numérateur $3>0$3>0, dénominateur $>0$>0 : $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 sur $]-2;+\infty [$]-2 ;+∞[.

Rappel de cours : $f^{\prime }>0$f'>0 sur un intervalle $\Rightarrow f$⇒ f strictement croissante sur cet intervalle.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$f'(x)=3x²-12=3(x-2)(x+2), positif à l'extérieur de $-2$-2 et $2$2, négatif entre.

2. 2

   $f$f est croissante sur $[-3;-2]$[-3 ;-2], décroissante sur $[-2;2]$[-2 ;2], croissante sur $[2;3]$[2 ;3].

3. 3

   Valeurs : $f(-3)=-27+36+1=10$f(-3)=-27+36+1=10, $f(-2)=-8+24+1=17$f(-2)=-8+24+1=17, $f(2)=8-24+1=-15$f(2)=8-24+1=-15, $f(3)=27-36+1=-8$f(3)=27-36+1=-8.

4. 4

   Maximum : $\max (17;-8)=17$max(17 ;-8)=17 en $-2$-2.

   Minimum : $\min (10;-15)=-15$min(10 ;-15)=-15 en $2$2.

Rappel de cours : Sur un intervalle fermé, on compare extremums locaux et valeurs aux bornes.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=6x-x^2$f(x)=6x-x², donc $f^{\prime }(x)=6-2x$f'(x)=6-2x.

   $f^{\prime }(x)=0⟺x=3$f'(x)=0 ⇔ x=3.

2. 2

   $f^{\prime }>0$f'>0 sur $[0;3[$[0;3[, $f^{\prime }<0$f'<0 sur $]3;6]$]3;6] : maximum en $x=3$x=3.

3. 3

   $f(3)=3\times 3=9$f(3)=3× 3=9.

Rappel de cours : On développe le produit avant de dériver. Le maximum d'un produit $x(6-x)$x(6-x) est au milieu, en $x=3$x=3.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }$f' est un trinôme de racines $1$1 et $4$4, coefficient dominant $>0$>0 : positif à l'extérieur, négatif entre.

2. 2

   $f^{\prime }>0$f'>0 sur $]-\infty ;1[$]-∞;1[, $f^{\prime }<0$f'<0 sur $]1;4[$]1;4[, $f^{\prime }>0$f'>0 sur $]4;+\infty [$]4;+∞[.

3. 3

   $f$f croît sur $]-\infty ;1]$]-∞;1], décroît sur $[1;4]$[1;4], croît sur $[4;+\infty [$[4;+∞[ : maximum local en $1$1, minimum local en $4$4.

Rappel de cours : Le signe de $f^{\prime }$f' (trinôme factorisé) donne directement les variations, sans recalculer.

Correction détaillée

1. 1

   La courbe monte jusqu'à $x=-2$x=-2, puis descend jusqu'à $x=1,5$x=1,5, puis remonte.

2. 2

   $f$f est croissante sur $[-3;-2]$[-3;-2], décroissante sur $[-2;1,5]$[-2;1,5], croissante sur $[1,5;3]$[1,5;3].

3. 3

   Maximum local en $x=-2$x=-2 (valeur $\approx 4,8$≈ 4,8) ; minimum local en $x=1,5$x=1,5 (valeur $\approx -0,75$≈ -0,75).

Rappel de cours : Lecture graphique : la courbe « monte » $\Rightarrow$⇒ croissante ; « descend » $\Rightarrow$⇒ décroissante. Les sommets sont les extremums.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2+1$f'(x)=3x²+1.

2. 2

   $3x^2\ge 0$3x²≥ 0, donc $f^{\prime }(x)\ge 1>0$f'(x)≥ 1>0 pour tout $x$x.

3. 3

   $f^{\prime }$f' est strictement positive : $f$f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : Si $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 sur un intervalle, $f$f y est strictement croissante. Pas besoin de racines ici.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}$f'(x)=1-4/x²=(x²-4)/x²=((x-2)(x+2))/x².

2. 2

   Sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[, $x+2>0$x+2>0 et $x^2>0$x²>0 : $f^{\prime }$f' a le signe de $x-2$x-2.

3. 3

   $f$f décroît sur $]0;2]$]0 ;2] et croît sur $[2;+\infty [$[2 ;+∞[.

   Son minimum est $f(2)=2+2=4$f(2)=2+2=4.

4. 4

   Donc $f(x)\ge 4$f(x)≥ 4 pour tout $x>0$x>0, avec égalité en $x=2$x=2.

Rappel de cours : Démontrer une inégalité $f(x)\ge m$f(x)≥ m revient souvent à montrer que $m$m est le minimum de $f$f.

Correction détaillée

1. 1

   On pose $g(x)=x^3-3x+2$g(x)=x³-3x+2 et on montre que $g(x)\ge 0$g(x)≥ 0 sur $[0;+\infty [$[0 ;+∞[.

2. 2

   $g^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$g'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1).

   Sur $[0;+\infty [$[0 ;+∞[, $x+1>0$x+1>0 : $g^{\prime }$g' a le signe de $x-1$x-1.

3. 3

   $g$g décroît sur $[0;1]$[0 ;1] et croît sur $[1;+\infty [$[1 ;+∞[.

   Minimum : $g(1)=1-3+2=0$g(1)=1-3+2=0.

4. 4

   Donc $g(x)\ge 0$g(x)≥ 0, c'est-à-dire $x^3\ge 3x-2$x³≥ 3x-2, avec égalité pour $x=1$x=1.

Rappel de cours : Pour comparer deux expressions, on étudie le signe de leur différence.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$f'(x)=6x²-18x+12=6(x²-3x+2)=6(x-1)(x-2).

2. 2

   Racines $1$1 et $2$2, coefficient $>0$>0 : $f^{\prime }>0$f'>0 à l'extérieur, $f^{\prime }<0$f'<0 entre.

3. 3

   $f$f croît sur $]-\infty ;1]$]-∞;1], décroît sur $[1;2]$[1;2], croît sur $[2;+\infty [$[2;+∞[.

4. 4

   Maximum local $f(1)=2-9+12=5$f(1)=2-9+12=5 ; minimum local $f(2)=16-36+24=4$f(2)=16-36+24=4.

Rappel de cours : Factoriser $f^{\prime }$f' (mettre le coefficient en facteur puis utiliser le discriminant) est l'étape clé pour le tableau.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=2x-2m$f'(x)=2x-2m.

   Le minimum est en $x$x tel que $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0, soit $x=m$x=m.

2. 2

   On veut ce minimum en $x=3$x=3 : $m=3$m=3.

Rappel de cours : L'abscisse de l'extremum d'une parabole $x^2-2mx+1$x²-2mx+1 est $x=m$x=m (le sommet). On l'égale à la valeur voulue.

Correction détaillée

1. 1

   On développe : $V(x)=x(144-48x+4x^2)=4x^3-48x^2+144x$V(x)=x(144-48x+4x²)=4x³-48x²+144x.

2. 2

   $V^{\prime }(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$V'(x)=12x²-96x+144=12(x²-8x+12)=12(x-2)(x-6).

3. 3

   Sur $]0;6[$]0;6[, $V^{\prime }>0$V'>0 sur $]0;2[$]0;2[, $V^{\prime }<0$V'<0 sur $]2;6[$]2;6[ : maximum en $x=2$x=2.

4. 4

   $V(2)=2\times (12-4{)}^2=2\times 64=128{\text{cm}}^3$V(2)=2×(12-4)²=2× 64=128 cm ³.

Rappel de cours : Optimisation : exprimer la grandeur, dériver, étudier le signe de la dérivée, lire le maximum. On garde la racine dans l'intervalle de définition.

Erreur fréquente : La racine $x=6$x=6 est exclue (hors de $]0;6[$]0;6[ et volume nul) : seul $x=2$x=2 convient.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f croît jusqu'à $f(-1)=3>0$f(-1)=3>0, décroît jusqu'à $f(1)=-1<0$f(1)=-1<0, puis recroît vers $+\infty$+∞.

2. 2

   Sur $]-\infty ;-1]$]-∞;-1] : $f$f passe de $-\infty$-∞ à $3$3, traverse $0$0 une fois.

   Sur $[-1;1]$[-1;1] : de $3$3 à $-1$-1, traverse $0$0 une fois.

   Sur $[1;+\infty [$[1;+∞[ : de $-1$-1 à $+\infty$+∞, traverse $0$0 une fois.

3. 3

   Au total, $f(x)=0$f(x)=0 admet $3$3 solutions.

Rappel de cours : Le tableau de variation, avec le signe des extremums, permet de compter les solutions de $f(x)=k$f(x)=k (une par intervalle de monotonie traversant $k$k).

Correction détaillée

1. 1

   1) Volume $\pi r^{2}h=330$π r²h=330, donc $h=\frac{330}{\pi r^2}$h=330/(π r²) et $2\pi rh=\frac{660}{r}$2π rh=660/r.

   D'où $S(r)=2\pi r^2+\frac{660}{r}$S(r)=2π r²+660/r.

2. 2

   2) $S^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{660}{r^2}=\frac{4\pi r^3-660}{r^2}$S'(r)=4π r-660/r²=(4π r³-660)/r².

   Le signe est celui de $4\pi r^3-660$4π r³-660, qui s'annule pour $r^3=\frac{165}{\pi }$r³=165/π.

3. 3

   $S^{\prime }$S' est négative avant cette valeur et positive après ($r^3$r³ est croissante) : $S$S est minimale en $r_0=\sqrt[3]{165/\pi }$r₀= racine 3-ième de (165/π).

4. 4

   3) $r_0\approx 3,74$r₀≈ 3,74 cm, $h=\frac{330}{\pi r_0^2}\approx 7,49$h=330/(π r₀²)≈ 7,49 cm, $S_{\min }\approx 264{\text{cm}}^2$S_min≈ 264 cm ².

5. 5

   On remarque $h\approx 2r$h≈ 2r : la canette optimale est aussi haute que large. (Les vraies canettes sont plus hautes, pour des raisons de prise en main.)

Rappel de cours : Optimisation : exprimer la grandeur avec une seule variable, dériver, étudier le signe, conclure.