Exercices corrigés : Tableau de variation — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x)=2x-4.

   $f^{\prime }(x)=0⟺x=2$f'(x)=0 ⇔ x=2 ; $f^{\prime }(x)<0$f'(x)<0 si $x<2$x<2, $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 si $x>2$x>2.

2. 2

   Donc $f$f est décroissante sur $]-\infty ;2]$]-∞;2], croissante sur $[2;+\infty [$[2;+∞[.

3. 3

   Minimum en $x=2$x=2 : $f(2)=4-8+3=-1$f(2)=4-8+3=-1 (cohérent avec le graphique).

Rappel de cours : Variations à partir du signe de $f^{\prime }$f' : $f^{\prime }<0$f'<0 (décroissante), $f^{\prime }>0$f'>0 (croissante). Le minimum est au sommet.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }>0$f'>0 avant $1$1 : $f$f croissante sur $]-\infty ;1]$]-∞;1].

   $f^{\prime }<0$f'<0 après : $f$f décroissante sur $[1;+\infty [$[1;+∞[.

2. 2

   $f$f croît puis décroît : $x=1$x=1 est un maximum.

Rappel de cours : Le signe de $f^{\prime }$f' se lit directement en variations. Croissante puis décroissante $\Rightarrow$⇒ maximum.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=-2x+6$f'(x)=-2x+6.

   $f^{\prime }(x)=0⟺x=3$f'(x)=0 ⇔ x=3.

2. 2

   $f^{\prime }>0$f'>0 avant $3$3, $f^{\prime }<0$f'<0 après : $f$f croît puis décroît, donc $x=3$x=3 est un maximum.

3. 3

   $f(3)=-9+18-5=4$f(3)=-9+18-5=4.

Rappel de cours : Un extremum est atteint là où $f^{\prime }$f' s'annule en changeant de signe.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1).

   Racines $-1$-1 et $1$1 ; $a=3>0$a=3>0 : $f^{\prime }>0$f'>0 à l'extérieur, $f^{\prime }<0$f'<0 entre.

2. 2

   $f$f croît sur $]-\infty ;-1]$]-∞;-1], décroît sur $[-1;1]$[-1;1], croît sur $[1;+\infty [$[1;+∞[.

3. 3

   Maximum local $f(-1)=-1+3=2$f(-1)=-1+3=2 ; minimum local $f(1)=1-3=-2$f(1)=1-3=-2 (voir graphique).

Rappel de cours : On factorise $f^{\prime }$f' pour lire son signe, puis on traduit en variations. Les extremums correspondent aux changements de signe de $f^{\prime }$f'.

Correction détaillée

1. 1

   $(x-3{)}^2>0$(x-3)²>0 et $-7<0$-7<0, donc $f^{\prime }(x)<0$f'(x)<0 pour tout $x\ne 3$x≠ 3.

2. 2

   $f$f est strictement décroissante sur $]3;+\infty [$]3;+∞[.

Rappel de cours : Pas besoin de calculer $f^{\prime }$f' si l'énoncé le donne : on étudie juste son signe.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=2x-2$f'(x)=2x-2, nulle en $1$1.

   $f^{\prime }<0$f'<0 sur $[0;1[$[0;1[, $f^{\prime }>0$f'>0 sur $]1;3]$]1;3] : minimum en $1$1.

2. 2

   $f(0)=0$f(0)=0, $f(1)=1-2=-1$f(1)=1-2=-1 (minimum), $f(3)=9-6=3$f(3)=9-6=3.

3. 3

   $f$f décroît de $0$0 à $-1$-1 sur $[0;1]$[0;1], croît de $-1$-1 à $3$3 sur $[1;3]$[1;3].

Rappel de cours : Sur un intervalle fermé, on indique aussi les valeurs aux bornes dans le tableau.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=6x-x^2$f(x)=6x-x², donc $f^{\prime }(x)=6-2x$f'(x)=6-2x.

   $f^{\prime }(x)=0⟺x=3$f'(x)=0 ⇔ x=3.

2. 2

   $f^{\prime }>0$f'>0 sur $[0;3[$[0;3[, $f^{\prime }<0$f'<0 sur $]3;6]$]3;6] : maximum en $x=3$x=3.

3. 3

   $f(3)=3\times 3=9$f(3)=3× 3=9.

Rappel de cours : On développe le produit avant de dériver. Le maximum d'un produit $x(6-x)$x(6-x) est au milieu, en $x=3$x=3.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }$f' est un trinôme de racines $1$1 et $4$4, coefficient dominant $>0$>0 : positif à l'extérieur, négatif entre.

2. 2

   $f^{\prime }>0$f'>0 sur $]-\infty ;1[$]-∞;1[, $f^{\prime }<0$f'<0 sur $]1;4[$]1;4[, $f^{\prime }>0$f'>0 sur $]4;+\infty [$]4;+∞[.

3. 3

   $f$f croît sur $]-\infty ;1]$]-∞;1], décroît sur $[1;4]$[1;4], croît sur $[4;+\infty [$[4;+∞[ : maximum local en $1$1, minimum local en $4$4.

Rappel de cours : Le signe de $f^{\prime }$f' (trinôme factorisé) donne directement les variations, sans recalculer.

Correction détaillée

1. 1

   La courbe monte jusqu'à $x=-2$x=-2, puis descend jusqu'à $x=1,5$x=1,5, puis remonte.

2. 2

   $f$f est croissante sur $[-3;-2]$[-3;-2], décroissante sur $[-2;1,5]$[-2;1,5], croissante sur $[1,5;3]$[1,5;3].

3. 3

   Maximum local en $x=-2$x=-2 (valeur $\approx 4,8$≈ 4,8) ; minimum local en $x=1,5$x=1,5 (valeur $\approx -0,75$≈ -0,75).

Rappel de cours : Lecture graphique : la courbe « monte » $\Rightarrow$⇒ croissante ; « descend » $\Rightarrow$⇒ décroissante. Les sommets sont les extremums.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3x^2+1$f'(x)=3x²+1.

2. 2

   $3x^2\ge 0$3x²≥ 0, donc $f^{\prime }(x)\ge 1>0$f'(x)≥ 1>0 pour tout $x$x.

3. 3

   $f^{\prime }$f' est strictement positive : $f$f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : Si $f^{\prime }(x)>0$f'(x)>0 sur un intervalle, $f$f y est strictement croissante. Pas besoin de racines ici.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$f'(x)=6x²-18x+12=6(x²-3x+2)=6(x-1)(x-2).

2. 2

   Racines $1$1 et $2$2, coefficient $>0$>0 : $f^{\prime }>0$f'>0 à l'extérieur, $f^{\prime }<0$f'<0 entre.

3. 3

   $f$f croît sur $]-\infty ;1]$]-∞;1], décroît sur $[1;2]$[1;2], croît sur $[2;+\infty [$[2;+∞[.

4. 4

   Maximum local $f(1)=2-9+12=5$f(1)=2-9+12=5 ; minimum local $f(2)=16-36+24=4$f(2)=16-36+24=4.

Rappel de cours : Factoriser $f^{\prime }$f' (mettre le coefficient en facteur puis utiliser le discriminant) est l'étape clé pour le tableau.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=2x-2m$f'(x)=2x-2m.

   Le minimum est en $x$x tel que $f^{\prime }(x)=0$f'(x)=0, soit $x=m$x=m.

2. 2

   On veut ce minimum en $x=3$x=3 : $m=3$m=3.

Rappel de cours : L'abscisse de l'extremum d'une parabole $x^2-2mx+1$x²-2mx+1 est $x=m$x=m (le sommet). On l'égale à la valeur voulue.

Correction détaillée

1. 1

   On développe : $V(x)=x(144-48x+4x^2)=4x^3-48x^2+144x$V(x)=x(144-48x+4x²)=4x³-48x²+144x.

2. 2

   $V^{\prime }(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$V'(x)=12x²-96x+144=12(x²-8x+12)=12(x-2)(x-6).

3. 3

   Sur $]0;6[$]0;6[, $V^{\prime }>0$V'>0 sur $]0;2[$]0;2[, $V^{\prime }<0$V'<0 sur $]2;6[$]2;6[ : maximum en $x=2$x=2.

4. 4

   $V(2)=2\times (12-4{)}^2=2\times 64=128{\text{cm}}^3$V(2)=2×(12-4)²=2× 64=128 cm ³.

Rappel de cours : Optimisation : exprimer la grandeur, dériver, étudier le signe de la dérivée, lire le maximum. On garde la racine dans l'intervalle de définition.

Erreur fréquente : La racine $x=6$x=6 est exclue (hors de $]0;6[$]0;6[ et volume nul) : seul $x=2$x=2 convient.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f croît jusqu'à $f(-1)=3>0$f(-1)=3>0, décroît jusqu'à $f(1)=-1<0$f(1)=-1<0, puis recroît vers $+\infty$+∞.

2. 2

   Sur $]-\infty ;-1]$]-∞;-1] : $f$f passe de $-\infty$-∞ à $3$3, traverse $0$0 une fois.

   Sur $[-1;1]$[-1;1] : de $3$3 à $-1$-1, traverse $0$0 une fois.

   Sur $[1;+\infty [$[1;+∞[ : de $-1$-1 à $+\infty$+∞, traverse $0$0 une fois.

3. 3

   Au total, $f(x)=0$f(x)=0 admet $3$3 solutions.

Rappel de cours : Le tableau de variation, avec le signe des extremums, permet de compter les solutions de $f(x)=k$f(x)=k (une par intervalle de monotonie traversant $k$k).