Le tableau de variation — exercices types corrigés

1. 1.
   La fonction descend puis monte : elle atteint son point le plus bas en $x=2$x = 2.

   → Extremum et changement de signe
2. 2.
   C'est donc un minimum, égal à $f(2)=-3$f(2) = -3.

Méthode utilisée : On lit l'extremum et l'abscisse où il est atteint dans le tableau.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=-2x+2$f'(x) = -2x + 2, qui s'annule en $x=1$x = 1.
2. 2.
   $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 pour $x<1$x < 1 ($f$f croît), $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0 pour $x>1$x > 1 ($f$f décroît).

   → Règle : signe de f' et variations
3. 3.
   Changement de $+$+ à $-$- en $1$1 : maximum $f(1)=-1+2+3=4$f(1) = -1 + 2 + 3 = 4.

   → Extremum et changement de signe

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1), qui s'annule en $x=-1$x = -1 et $x=1$x = 1.
2. 2.
   $f^{\prime }>0$f' > 0 sur $]-\infty ;-1[$]-∞ ;-1[, $f^{\prime }<0$f' < 0 sur $]-1;1[$]-1 ;1[, $f^{\prime }>0$f' > 0 sur $]1;+\infty [$]1 ;+∞[ : $f$f croît, décroît, puis croît.

   → Règle : signe de f' et variations
3. 3.
   Maximum local $f(-1)=-1+3=2$f(-1) = -1 + 3 = 2 ; minimum local $f(1)=1-3=-2$f(1) = 1 - 3 = -2.

   → Extremum et changement de signe

1. 1.
   $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0 sur $]-\infty ;0[$]-∞ ;0[ : $f$f y est décroissante. $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ : $f$f y est croissante.

   → Règle : signe de f' et variations
2. 2.
   $f^{\prime }$f' passe de $-$- à $+$+ en $0$0 : la fonction descend puis monte, c'est un minimum.

   → Extremum et changement de signe

Méthode utilisée : Le signe de $f^{\prime }$f' donne les variations : $f^{\prime }>0$f'>0 croissante, $f^{\prime }<0$f'<0 décroissante.

Erreur fréquente : Confondre le signe de $f$f et celui de $f^{\prime }$f'.

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=2x-2$f'(x) = 2x - 2, nul en $x=1$x = 1.

   → Règle : signe de f' et variations
2. 2.
   $f^{\prime }<0$f' < 0 avant $1$1, $f^{\prime }>0$f' > 0 après : minimum en $1$1, $f(1)=1-2=-1$f(1) = 1 - 2 = -1.

   → Extremum et changement de signe

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=-2x+6$f'(x) = -2x + 6, nul en $x=3$x = 3.

   → Règle : signe de f' et variations
2. 2.
   $f^{\prime }>0$f' > 0 avant $3$3, $f^{\prime }<0$f' < 0 après : maximum en $3$3, $f(3)=-9+18=9$f(3) = -9 + 18 = 9.

   → Extremum et changement de signe

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=4x-8$f'(x) = 4x - 8, nul en $x=2$x = 2.

   → Règle : signe de f' et variations
2. 2.
   Minimum en $2$2 : $f(2)=8-16+1=-7$f(2) = 8 - 16 + 1 = -7.

   → Extremum et changement de signe

1. 1.
   $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1), nul en $-1$-1 et $1$1.

   → Règle : signe de f' et variations
2. 2.
   $f^{\prime }>0$f' > 0 hors de $[-1;1]$[-1 ;1], $f^{\prime }<0$f' < 0 entre.

   → Extremum et changement de signe
3. 3.
   Maximum local $f(-1)=-1+3=2$f(-1) = -1 + 3 = 2 ; minimum local $f(1)=1-3=-2$f(1) = 1 - 3 = -2.

1. 1.
   $f^{\prime }>0$f' > 0 partout signifie que $f$f est croissante.

   → Règle : signe de f' et variations
2. 2.
   $f$f est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ, sans extremum.

1. 1.
   La fonction monte puis descend : elle atteint son point le plus haut en $4$4.

   → Extremum et changement de signe
2. 2.
   C'est un maximum, égal à $10$10.