Le lien entre dérivée et variations est le résultat central de la dérivation : le signe de la dérivée f' donne le sens de variation de la fonction f. Là où f'(x)>0, la fonction est strictement croissante ; là où f'(x)<0, elle est strictement décroissante ; et là où f' s'annule en changeant de signe, f présente un extremum. Étudier les variations d'une fonction consiste donc à calculer f', étudier son signe, puis dresser le tableau de variations qui résume tout. Cette méthode permet de trouver les maximums et minimums, de comparer des valeurs et de tracer l'allure de la courbe. C'est la démarche de référence au lycée.
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Méthode utilisée : On calcule f', on étudie son signe, puis on en déduit les variations.
Le signe de f' indique le sens : là où f'(x) > 0 la fonction monte, là où f'(x) < 0 elle descend. C'est la base de l'étude des fonctions.
On calcule f', on étudie son signe (en résolvant f'(x) = 0), puis on dresse le tableau de variations.
Si f' change de signe, la fonction change de sens : c'est un extremum (maximum ou minimum).
On calcule la dérivée f', on étudie son signe (en cherchant où f'(x) = 0), puis on en déduit les variations dans un tableau : f croît là où f' > 0, décroît là où f' < 0.
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : si f'(x) > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f'(x) < 0, f y est décroissante ; si f'(x) = 0, la tangente est horizontale.
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Du nombre dérivé à l'étude complète d'une fonction : tangente, fonction dérivée, tableau de variation et extremums.
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Variations et extremums — Première spé maths →