Notion

Le signe de la dérivée

Q: Pourquoi étudier le signe de la dérivée ?

Parce que c'est lui qui donne les variations : f' positive = fonction croissante, f' négative = décroissante. C'est l'étape clé de l'étude d'une fonction.

Q: Comment fait-on ?

On résout f'(x) = 0 pour trouver où le signe peut changer, puis on détermine le signe sur chaque intervalle (souvent avec la règle du signe d'un trinôme).

Q: Et si f' garde un signe constant ?

Alors la fonction est monotone : toujours croissante si f' ≥ 0, toujours décroissante si f' ≤ 0.

Q: Comment étudier le signe de la dérivée ?

On calcule f'(x), on résout l'équation f'(x) = 0 pour trouver les valeurs où elle s'annule, puis on dresse un tableau de signes (souvent en factorisant f' ou avec le discriminant si f' est un trinôme).

Q: Que dit le signe de la dérivée sur la fonction ?

Il donne le sens de variation : f' > 0 signifie f croissante, f' < 0 signifie f décroissante. Un changement de signe de f' correspond à un extremum de f.

Le signe de la dérivée $f^{'}$ f' donne le sens de variation de la fonction $f$ f. C'est le résultat central de la dérivation : là où $f^{'} (x) > 0$ f'(x)>0, la fonction est strictement croissante ; là où $f^{'} (x) < 0$ f'(x)<0, elle est strictement décroissante ; et là où $f^{'}$ f' s'annule en changeant de signe, $f$ f présente un extremum (maximum ou minimum). Pour étudier une fonction, on calcule donc $f^{'}$ f', on résout $f^{'} (x) = 0$ f'(x)=0, on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations. Étudier le signe de la dérivée revient souvent à étudier le signe d'un produit, d'un quotient ou d'un trinôme. C'est la méthode de référence pour trouver les extremums d'une fonction.

Définitions

Signe de la dérivée: C'est l'étude des intervalles où $f^{'} (x) > 0$ f'(x) > 0, $f^{'} (x) < 0$ f'(x) < 0 ou $f^{'} (x) = 0$ f'(x) = 0. Il commande le sens de variation de $f$ f.
Dérivée et extremum: Un extremum de $f$ f se trouve là où $f^{'}$ f' s'annule en changeant de signe : $+$ + puis $-$ - donne un maximum, $-$ - puis $+$ + un minimum.

Formules

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Signe de f' et conclusion →

f^{'} > 0 \Rightarrow f ↗ f^{'} < 0 \Rightarrow f ↘

f' > 0 ⇒ f ↗ f' < 0 ⇒ f ↘On résout f'(x) = 0, on étudie le signe.

Méthodes

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Étudier le signe de la dérivée →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Dérivée affine

Niveau 1 · Application directe

Étudier le signe de

f^{'} (x) = 2 x - 4

f'(x) = 2x - 4.

Voir la correction

1.
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 2$ f'(x) = 0 ⇔ x = 2.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'} < 0$ f' < 0 pour $x < 2$ x < 2, $f^{'} > 0$ f' > 0 pour $x > 2$ x > 2.

Réponse : Négative avant

2

2, positive après.

Dérivée du second degré

Niveau 2 · Méthode complète

Étudier le signe de

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

f'(x) = 3x² - 3.

Voir la correction

1.
Racines : $x = - 1$ x = -1 et $x = 1$ x = 1, $a = 3 > 0$ a = 3 > 0.
→ Signe de f' et conclusion
2.
$f^{'} > 0$ f' > 0 hors de $[- 1; 1]$ [-1 ;1], $f^{'} < 0$ f' < 0 sur $] - 1; 1 [$ ]-1 ;1[.

Réponse : Positive hors de

[- 1; 1]

[-1 ;1], négative entre.

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Questions fréquentes

Pourquoi étudier le signe de la dérivée ?

Parce que c'est lui qui donne les variations : f' positive = fonction croissante, f' négative = décroissante. C'est l'étape clé de l'étude d'une fonction.

Comment fait-on ?

On résout f'(x) = 0 pour trouver où le signe peut changer, puis on détermine le signe sur chaque intervalle (souvent avec la règle du signe d'un trinôme).

Et si f' garde un signe constant ?

Alors la fonction est monotone : toujours croissante si f' ≥ 0, toujours décroissante si f' ≤ 0.

Comment étudier le signe de la dérivée ?

On calcule f'(x), on résout l'équation f'(x) = 0 pour trouver les valeurs où elle s'annule, puis on dresse un tableau de signes (souvent en factorisant f' ou avec le discriminant si f' est un trinôme).

Que dit le signe de la dérivée sur la fonction ?

Il donne le sens de variation : f' > 0 signifie f croissante, f' < 0 signifie f décroissante. Un changement de signe de f' correspond à un extremum de f.

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