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Notion

La dérivée

La dérivée d'une fonction f est une nouvelle fonction, notée f', qui donne en chaque point la pente de la tangente à la courbe, c'est-à-dire la vitesse de variation de f. Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux de variation (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0. On dérive à l'aide de formules de référence ((xⁿ)'=nxⁿ⁻¹, etc.) et des règles sur les sommes, produits et quotients. Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction, et ses annulations repèrent les extremums. La dérivation est l'un des outils les plus puissants de l'analyse : étude de fonctions, tangentes, optimisation.

Définitions

Nombre dérivé
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite du taux de variation (f(a+h) - f(a))/h quand h tend vers 0. C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Tangente
La tangente à la courbe de f au point A(a ;f(a)) est la droite qui « épouse » la courbe en ce point. Sa pente est exactement f'(a).
Fonction dérivée
La fonction dérivée f' est la fonction qui, à chaque x, associe le nombre dérivé f'(x). On l'obtient avec les dérivées usuelles et les règles de calcul.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Équation de la tangente →y = f'(a) (x - a) + f(a)y = f'(a) × (x − a) + f(a)La droite tangente à la courbe au point d'abscisse a.Dérivées usuelles →(xⁿ)' &= n xⁿ⁻¹ ; (√(x))' &= 1/2√(x) ; (1/x)' &= -1/x²Les dérivées des fonctions de référence à connaître par cœur.Règles de dérivation →(u+v)' &= u'+v' ; (uv)' &= u'v + uv' ; (u/v)' &= (u'v - uv')/v²Comment dériver une somme, un produit, un quotient.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Calculer une fonction dérivée →

3 étapes · exemple corrigé

Déterminer l'équation d'une tangente →

3 étapes · exemple corrigé

Étudier les variations avec la dérivée →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

1

Calculer une dérivée

Niveau 1 · Application directe
Dériver la fonction f(x) = 2x³ - 4x² + x - 7.
Voir la correction
  1. 1.
    On dérive terme par terme avec (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹.
    → Dérivées usuelles
  2. 2.
    (2x³)' = 6x², (-4x²)' = -8x, (x)' = 1, (-7)' = 0.
  3. 3.
    Donc f'(x) = 6x² - 8x + 1.
Réponse : f'(x) = 6x² - 8x + 1.

Méthode utilisée : On dérive terme à terme.

2

Équation d'une tangente

Niveau 2 · Méthode complète
Soit f(x) = x². Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a = 1.
Voir la correction
  1. 1.
    f(1) = 1 et f'(x) = 2x donne f'(1) = 2.
    → Dérivées usuelles
  2. 2.
    On applique y = f'(a)(x - a) + f(a) avec a = 1 : y = 2(x - 1) + 1.
    → Équation de la tangente
  3. 3.
    En développant : y = 2x - 1.
Réponse : y = 2x - 1.
Faire les 10 exercices types sur dérivée8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi la dérivée, simplement ?

C'est la vitesse à laquelle une quantité change. Exemple concret : si f(t) est la distance parcourue par une voiture au temps t, alors la dérivée f'(t) est sa vitesse instantanée — exactement ce qu'indique le compteur. Une dérivée positive = ça augmente, négative = ça diminue.

À quoi sert le nombre dérivé f'(a) ?

Il donne la pente de la courbe au point d'abscisse a, c'est-à-dire l'inclinaison de la tangente. S'il est grand, la courbe monte fort ; s'il est négatif, elle descend ; s'il vaut 0, elle est momentanément « plate » (sommet ou creux).

Pourquoi dériver pour étudier les variations ?

Parce que le signe de la dérivée dit tout : là où f'(x) > 0 la fonction monte, là où f'(x) < 0 elle descend. Et là où f' change de signe, on a un maximum ou un minimum. C'est plus rapide et plus sûr que de tracer la courbe à la main.

C'est quoi une tangente ?

C'est la droite qui « colle » à la courbe en un point, en suivant exactement sa direction à cet endroit. Image : si tu zoomes très fort sur la courbe autour du point, elle finit par ressembler à une droite — c'est sa tangente, et sa pente est f'(a).

Quelle différence entre f(a) et f'(a) ?

f(a) est la valeur de la fonction en a : la hauteur du point sur la courbe. f'(a) est la pente en ce point : son inclinaison. Pour une route, f(a) serait ton altitude et f'(a) la raideur de la pente sous tes pieds.

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Le chapitre complet, avec fiche et exercices corrigés en PDF :

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