Ce que dit la formule
Si f' passe de + à - en x₀ : maximum. Si elle passe de - à + : minimum. La valeur de l'extremum est f(x₀).
f'(x₀) = 0 seul ne suffit pas : il faut un changement de signe.
La condition est double, et c'est la seconde qu'on oublie : f' doit s'annuler ET changer de signe. Sans changement de signe, la tangente est horizontale mais la courbe poursuit son chemin.
La valeur de l'extremum est f(x₀), pas x₀ : on répond « le minimum vaut -3 », en précisant qu'il est atteint en x = 2.
Exemple
f(x) = x² - 4x + 1 : f' passe de - à + en x = 2, minimum f(2) = -3.
Deuxième exemple
f(x) = x⁴ : f'(x) = 4x³ s'annule en 0 en passant du négatif au positif, il y a donc un minimum, f(0) = 0. Pour g(x) = x³, g'(x) = 3x² s'annule aussi en 0 mais reste positive : aucun extremum.
Piège à éviter
Sans changement de signe de f', pas d'extremum (ex. x³ en 0).
Questions fréquentes
Comment distinguer un maximum d'un minimum ?
Par le sens du changement de signe de f' : de + à - c'est un maximum, de - à + c'est un minimum.
L'extremum est-il la valeur de x ou celle de f ?
Celle de f. On dit que le minimum vaut f(x₀) et qu'il est atteint en x₀.
Un extremum local vaut-il sur toute la courbe ?
Pas forcément : il n'est extremum que sur un voisinage. Ailleurs, la fonction peut prendre des valeurs plus grandes ou plus petites.
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