Factorielle et permutations : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Le nombre de permutations de $n$ n objets distincts (les ranger tous dans un ordre) est $n!$ n!. Pour le premier on a $n$ n choix, puis $n - 1$ n-1, etc.

C'est un cas particulier d'arrangement : $A_{n}^{n} = n!$ Aₙⁿ = n!.

Le raisonnement derrière $n!$ n! est un principe multiplicatif : $n$ n choix pour la première place, $n - 1$ n-1 pour la deuxième une fois le premier objet placé, et ainsi de suite jusqu'à $1$ 1.

La factorielle croît extrêmement vite : $10!$ 10! dépasse déjà $3, 6$ 3,6 millions et $20!$ 20! dépasse $2 \times 1 0^{18}$ 2 × 10¹⁸. C'est ce qui rend certains dénombrements impossibles à traiter par énumération.

Exemple

Ranger

5

5 livres :

5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120 façons.

Deuxième exemple

Le nombre d'anagrammes du mot LIVRE, dont les

5

5 lettres sont distinctes, vaut

5! = 120

5! = 120. Avec une lettre répétée, il faudrait diviser pour ne pas compter deux fois les mêmes mots.

Piège à éviter

0! = 1

0! = 1 (par convention), pas

0

Les autres formules de le dénombrement

Arrangements et combinaisons →

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Aₙ^(k) = n!/((n-k)!) C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)Principe multiplicatif →

N = n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}

N = n₁ × n₂ × … × nₖ

Questions fréquentes

Pourquoi la factorielle de zéro vaut-elle 1 ?

Par convention, mais elle est cohérente : il y a exactement une façon de ne rien ranger, la disposition vide. Cette valeur rend aussi les formules de combinaisons valables aux extrémités.

À quelle vitesse la factorielle croît-elle ?

Très vite :

10!

10! dépasse

3, 6

3,6 millions et

20!

20! dépasse

2 \times 1 0^{18}

2 × 10¹⁸. C'est ce qui interdit d'énumérer les cas à la main.

Que faire si certains objets sont identiques ?

On divise

n!

n! par les factorielles des effectifs répétés, pour ne pas compter plusieurs fois des dispositions indiscernables.

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Le dénombrement →

Formule : Factorielle et permutations

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Exemple

Deuxième exemple

Piège à éviter

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