Arrangements et combinaisons : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Le nombre d'arrangements de $k$ k éléments parmi $n$ n (ordre compté) est $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ Aₙ^(k) = n!/((n-k)!). Le nombre de combinaisons (ordre non compté) est $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) = n!/(k! (n-k)!).

Le lien : $(k n) = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ C(n, k) = Aₙ^(k)/k!, car une même combinaison correspond à $k!$ k! arrangements (les $k!$ k! ordres possibles des mêmes éléments).

Exemple

A_{5}^{2} = \frac{5 !}{3 !} = 5 \times 4 = 20

A₅² = 5!/3! = 5× 4 = 20 ;

(2 5) = \frac{5 !}{2 ! 3 !} = 10

C(5, 2) = 5!/(2! 3!) = 10.

Piège à éviter

La question décisive : l'ordre compte-t-il ? Oui → arrangement ; non → combinaison.

Les autres formules de le dénombrement

Factorielle et permutations →

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1 (permutations de n objets)

n! = n×(n-1)×…× 1 ( permutations de n objets )Principe multiplicatif →

N = n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}

N = n₁ × n₂ × … × nₖ

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Formule : Arrangements et combinaisons

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