Principe multiplicatif : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Si une situation se fait en plusieurs étapes successives indépendantes, avec $n_{1}$ n₁ choix à la première, $n_{2}$ n₂ à la deuxième, etc., le nombre total de possibilités est le produit $n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$ n₁× n₂×…× nₖ.

C'est l'outil de base, notamment quand les répétitions sont autorisées.

Le principe s'applique dès qu'un choix se décompose en étapes successives. Il suffit de compter les possibilités à chaque étape, les précédentes étant faites, puis de multiplier.

Il englobe les autres formules de dénombrement : arrangements et permutations n'en sont que des cas particuliers, où le nombre de choix diminue d'une unité à chaque étape.

Exemple

Un code à

4

4 chiffres (de

0

0 à

9

9, répétitions permises) :

10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1 0^{4} = 10000

10× 10× 10× 10 = 10⁴ = 10 000 codes.

Deuxième exemple

Une plaque composée de

2

2 lettres suivies de

3

3 chiffres offre

26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 = 676000

26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676 000 combinaisons.

Piège à éviter

Le principe multiplicatif suppose que chaque étape garde le même nombre de choix : avec répétition autorisée. Sans répétition, le nombre de choix diminue (et on retombe sur un arrangement).

Les autres formules de le dénombrement

Arrangements et combinaisons →

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Aₙ^(k) = n!/((n-k)!) C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)Factorielle et permutations →

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1 (permutations de n objets)

n! = n×(n-1)×…× 1 ( permutations de n objets )

Questions fréquentes

Quand le nombre de choix change-t-il d'une étape à l'autre ?

Quand la répétition est interdite : après avoir utilisé un élément il en reste un de moins, et l'on multiplie

n \times (n - 1) \times \dots

n × (n-1) × …

Comment reconnaître une situation multiplicative ?

Quand l'énoncé décrit une succession de choix : « puis », « ensuite », « suivi de » sont les mots déclencheurs.

Le principe vaut-il si les étapes ne sont pas indépendantes ?

Oui, à condition de compter à chaque étape le nombre de choix restants compte tenu des précédents.

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Le dénombrement →

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