Pente de la tangente : la formule et un exemple

Q: Quelle différence entre f(a) et f'(a) ?

f(a) est la hauteur du point sur la courbe, f'(a) la pente de la tangente en ce point. Ce sont deux informations indépendantes.

Q: Que traduit un nombre dérivé négatif ?

Que la fonction décroît au voisinage de a : la tangente descend.

Q: Le coefficient directeur dépend-il du point choisi ?

Oui, et c'est tout l'intérêt : f' est une fonction, sa valeur change d'un point à l'autre. Seule une fonction affine a une pente constante.

Ce que dit la formule

Le coefficient directeur de la tangente en $a$ a est le nombre dérivé $f^{'} (a)$ f'(a). On dérive $f$ f, puis on remplace $x$ x par $a$ a.

$f^{'} (a) > 0$ f'(a) > 0 : la courbe monte en $a$ a ; $f^{'} (a) < 0$ f'(a) < 0 : elle descend ; $f^{'} (a) = 0$ f'(a) = 0 : tangente horizontale.

Le nombre dérivé $f^{'} (a)$ f'(a) est défini comme la limite du taux d'accroissement entre $a$ a et un point voisin. Géométriquement, la sécante bascule vers la tangente : la pente limite est $f^{'} (a)$ f'(a).

Ce coefficient renseigne sur le comportement local de la courbe, pas sur sa hauteur : $f^{'} (a)$ f'(a) grand signifie une montée raide en $a$ a, quelle que soit la valeur de $f (a)$ f(a).

Exemple

f (x) = x^{2}

f(x) = x² en

a = 3

a = 3 :

f^{'} (x) = 2 x

f'(x) = 2x, donc

m = f^{'} (3) = 6

m = f'(3) = 6.

Deuxième exemple

f (x) = \frac{1}{x}

f(x) = 1/x en

a = 2

a = 2 :

f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}

f'(x) = -1/x², donc

m = f^{'} (2) = - \frac{1}{4}

m = f'(2) = -1/4. La tangente descend doucement, ce qui traduit la décroissance de la fonction inverse.

Piège à éviter

Le coefficient directeur, c'est

f^{'} (a)

f'(a), pas

f (a)

f(a).

Questions fréquentes

Quelle différence entre f(a) et f'(a) ?

f (a)

f(a) est la hauteur du point sur la courbe,

f^{'} (a)

f'(a) la pente de la tangente en ce point. Ce sont deux informations indépendantes.

Que traduit un nombre dérivé négatif ?

Que la fonction décroît au voisinage de

a

a : la tangente descend.

Le coefficient directeur dépend-il du point choisi ?

Oui, et c'est tout l'intérêt :

f^{'}

f' est une fonction, sa valeur change d'un point à l'autre. Seule une fonction affine a une pente constante.

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