Formule du coefficient binomial : énoncé et exemple

Ce que dit la formule

Le coefficient binomial se calcule avec $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) = n!/(k! (n-k)!). On peut aussi l'obtenir à la calculatrice.

En pratique, on simplifie : $(k n) = \frac{n \times ( n - 1 ) \times \dots}{k !}$ C(n, k) = (n×(n-1)×…)/k! avec $k$ k facteurs au numérateur.

La forme à trois factorielles est celle de la définition ; la forme simplifiée, avec $k$ k facteurs au numérateur, est celle qu'on utilise en pratique car elle évite de calculer des factorielles gigantesques.

Le coefficient compte les parties à $k$ k éléments d'un ensemble à $n$ n éléments. L'ordre n'y intervenant pas, ${1; 2}$ {1 ;2} et ${2; 1}$ {2 ;1} désignent la même partie et ne sont comptées qu'une fois.

Exemple

(2 5) = \frac{5 !}{2 ! 3 !} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

C(5, 2) = 5!/(2! 3!) = (5× 4)/(2× 1) = 10.

Deuxième exemple

(3 6) = \frac{6 !}{3 ! 3 !} = \frac{720}{36} = 20

C(6, 3) = 6!/(3! 3!) = 720/36 = 20, ou plus vite

\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20

(6 × 5 × 4)/(3 × 2 × 1) = 120/6 = 20.

Piège à éviter

Le dénominateur contient deux factorielles :

k!

k! et

(n - k)!

(n-k)!. En oublier une fausse le résultat.

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(k n) = (n - k n)

C(n, k) = C(n, n-k)Relation de Pascal →

(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

Questions fréquentes

Pourquoi divise-t-on par k factorielle ?

Parce que les

k

k éléments choisis peuvent être ordonnés de

k!

k! façons, et que toutes ces dispositions décrivent la même partie. La division supprime ces doublons.

Quel lien avec le triangle de Pascal ?

Chaque coefficient y figure :

(k n)

C(n, k) est le

k

k-ième nombre de la

n

n-ième ligne, obtenu en additionnant les deux nombres situés au-dessus.

Le résultat peut-il être un nombre décimal ?

Jamais : un coefficient binomial compte des objets, c'est donc un entier. Un résultat décimal signale une erreur de calcul.

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