Symétrie des combinaisons : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Choisir les $k$ k éléments qu'on garde revient à choisir les $n - k$ n-k qu'on laisse de côté : d'où $(k n) = (n - k n)$ C(n, k) = C(n, n-k).

Cette symétrie simplifie les calculs : pour $(8 10)$ C(10, 8), on calcule plutôt $(2 10)$ C(10, 2).

La symétrie se lit aussi dans le triangle de Pascal : chaque ligne est un palindrome, ce qui donne un contrôle visuel immédiat des valeurs calculées.

Elle explique pourquoi les coefficients augmentent puis diminuent : ils sont maximaux au milieu de la ligne, autour de $k = \frac{n}{2}$ k = n/2.

Exemple

(8 10) = (2 10) = 45

C(10, 8) = C(10, 2) = 45.

Deuxième exemple

Sur la ligne

n = 6

n = 6 du triangle de Pascal —

1

6

15

15,

20

20,

15

15,

6

1

1 — la symétrie se lit directement :

(1 6) = (5 6) = 6

C(6, 1) = C(6, 5) = 6 et

(2 6) = (4 6) = 15

C(6, 2) = C(6, 4) = 15.

Piège à éviter

On remplace

k

k par

n - k

n-k, pas par

k - n

k-n.

Les autres formules de les combinaisons

Formule du coefficient binomial →

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)Relation de Pascal →

(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

Questions fréquentes

Comment la symétrie se voit-elle dans le triangle de Pascal ?

Chaque ligne se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : la ligne

6

6 donne

1

6

15

15,

20

20,

15

15,

6

1

Où les coefficients binomiaux sont-ils les plus grands ?

Au milieu de la ligne. La symétrie impose ce maximum central, atteint en

k = \frac{n}{2}

k = n/2 lorsque

n

n est pair.

La symétrie sert-elle en probabilités ?

Oui : dans une loi binomiale de paramètre

p = 0, 5

p = 0,5, elle rend la distribution symétrique autour de

\frac{n}{2}

n/2.

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Les combinaisons →

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