Racines d'un trinôme : la formule et un exemple

Q: Que signifie une racine double ?

Que les deux racines sont confondues. Le trinôme se factorise alors en a(x-x₀)², et la parabole touche l'axe sans le traverser.

Q: Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Si le trinôme se factorise à vue, par facteur commun ou identité remarquable, c'est plus rapide : x² - 9 = 0 donne directement 3 et -3.

Q: Que faire si le discriminant n'est pas un carré parfait ?

On garde la racine sous forme exacte : Δ = 8 donne √(8) = 2√(2), et les racines s'expriment avec ce radical.

Ce que dit la formule

On calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ Δ = b² - 4ac. Si $Δ > 0$ Δ > 0, deux racines $\frac{- b \pm Δ}{2 a}$ (-b ± √(Δ))/2a ; si $Δ = 0$ Δ = 0, une racine double $- \frac{b}{2 a}$ -b/2a ; si $Δ < 0$ Δ < 0, aucune racine réelle.

Le dénominateur est $2 a$ 2a, et le numérateur commence par $- b$ -b.

Le discriminant décide à lui seul du nombre de solutions, avant même tout calcul de racine : positif deux racines, nul une racine double, négatif aucune racine réelle.

Géométriquement, $Δ$ Δ dit combien de fois la parabole coupe l'axe des abscisses : deux points, un point de tangence, ou aucun.

Exemple

2 x^{2} + 3 x - 2 = 0

2x² + 3x - 2 = 0 :

Δ = 25

Δ = 25,

x = \frac{- 3 \pm 5}{4}

x = (-3 ± 5)/4, soit

\frac{1}{2}

1/2 et

- 2

-2.

Deuxième exemple

x^{2} - 6 x + 9 = 0

x² - 6x + 9 = 0 :

Δ = 36 - 36 = 0

Δ = 36 - 36 = 0, il y a une racine double

x = \frac{6}{2} = 3

x = 6/2 = 3. La parabole est tangente à l'axe des abscisses au point

(3; 0)

(3 ;0).

Piège à éviter

Bien gérer le signe de

b

b et le

2 a

2a au dénominateur.

Questions fréquentes

Que signifie une racine double ?

Que les deux racines sont confondues. Le trinôme se factorise alors en

a (x - x_{0})^{2}

a(x-x₀)², et la parabole touche l'axe sans le traverser.

Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Si le trinôme se factorise à vue, par facteur commun ou identité remarquable, c'est plus rapide :

x^{2} - 9 = 0

x² - 9 = 0 donne directement

3

3 et

- 3

-3.

Que faire si le discriminant n'est pas un carré parfait ?

On garde la racine sous forme exacte :

Δ = 8

Δ = 8 donne

8 = 22

√(8) = 2√(2), et les racines s'expriment avec ce radical.

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