Notion

Le second degré

Le second degré est l'étude des fonctions et équations faisant intervenir un trinôme $a x^{2} + b x + c$ ax²+bx+c avec $a \neq = 0$ a≠0. La fonction associée a pour courbe une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ a>0, vers le bas si $a < 0$ a<0, avec un sommet qui donne son extremum. L'outil central est le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ Δ=b²-4ac, qui détermine le nombre de racines de l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ ax²+bx+c=0 : deux si $Δ > 0$ Δ>0, une si $Δ = 0$ Δ=0, aucune si $Δ < 0$ Δ<0. Selon la question, on utilise la forme développée, factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ a(x-x₁)(x-x₂) ou canonique $a (x - α)^{2} + β$ a(x-α)²+β. Le second degré permet de résoudre équations et inéquations, d'étudier un signe et de traiter des problèmes d'optimisation.

Définitions

Équation du second degré: C'est une équation qui peut s'écrire $a x^{2} + b x + c = 0$ ax² + bx + c = 0 avec $a \neq = 0$ a ≠ 0. Le terme en $x^{2}$ x² est ce qui la distingue d'une équation du premier degré (du type $a x + b = 0$ ax + b = 0). Exemple : $x^{2} - x - 6 = 0$ x² - x - 6 = 0.
Parabole: C'est la courbe de la fonction $x \mapsto a x^{2} + b x + c$ x ↦ ax² + bx + c. Elle a la forme d'un U tourné vers le haut si $a > 0$ a > 0, vers le bas si $a < 0$ a < 0. Les solutions de l'équation sont les points où la parabole touche l'axe horizontal.
Forme canonique: C'est une autre écriture du trinôme, $a (x - α)^{2} + β$ a(x-α)² + β, qui fait apparaître directement le sommet $(α; β)$ (α ; β) de la parabole. Exemple : $x^{2} - 4 x + 1 = (x - 2)^{2} - 3$ x² - 4x + 1 = (x-2)² - 3.

Formules

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Formule de résolution du second degré →

Δ = b^{2} - 4 a c x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

Δ = b² - 4ac x = (-b ± √(Δ))/2aCalculer le discriminant, puis les solutions selon son signe.Forme canonique →

a x^{2} + b x + c = a (x - α)^{2} + β avec α = - \frac{b}{2 a}, β = - \frac{Δ}{4 a}

ax² + bx + c = a (x-α)² + β avec α = -b/2a, β = -Δ/4aL'écriture qui révèle le sommet de la parabole.Coordonnées du sommet →

S (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})

S(-b/2a ; -Δ/4a)Le point le plus bas (ou le plus haut) de la parabole.Signe du trinôme →

a x^{2} + b x + c a le signe de a \overset{a}{ˋ} l’ext \overset{e}{ˊ} rieur des racines

ax² + bx + c a le signe de a à l'extérieur des racinesLe trinôme est du signe de a, sauf entre les racines.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Résoudre une équation du second degré →

3 étapes · exemple corrigé

Étudier le signe d'un trinôme →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Résoudre une équation

Niveau 1 · Application directe

Résoudre dans

R

ℝ l'équation

x^{2} - x - 6 = 0

x² - x - 6 = 0.

Voir la correction

1.
$a = 1$ a = 1, $b = - 1$ b = -1, $c = - 6$ c = -6, donc $Δ = (- 1)^{2} - 4 \times 1 \times (- 6) = 1 + 24 = 25$ Δ = (-1)² - 4× 1×(-6) = 1 + 24 = 25.
→ Formule de résolution du second degré
2.
$Δ = 25 > 0$ Δ = 25 > 0 : deux solutions, avec $Δ = 5$ √(Δ) = 5.
3.
$x_{1} = \frac{1 - 5}{2} = - 2$ x₁ = (1 - 5)/2 = -2 et $x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ x₂ = (1 + 5)/2 = 3.
→ Formule de résolution du second degré

Réponse :

S = {- 2; 3}

S = {-2 ; 3}.

Mettre sous forme canonique

Niveau 2 · Méthode complète

Écrire

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

f(x) = x² - 4x + 1 sous forme canonique.

Voir la correction

1.
Abscisse du sommet : $α = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2} = 2$ α = -b/2a = -(-4)/2 = 2.
→ Forme canonique
2.
Ordonnée : $β = f (2) = 2^{2} - 4 \times 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = - 3$ β = f(2) = 2² - 4× 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3.
3.
Donc $f (x) = (x - 2)^{2} - 3$ f(x) = (x-2)² - 3. (Vérification en développant : $(x - 2)^{2} - 3 = x^{2} - 4 x + 4 - 3 = x^{2} - 4 x + 1$ (x-2)² - 3 = x² - 4x + 4 - 3 = x² - 4x + 1.)

Réponse :

f (x) = (x - 2)^{2} - 3

f(x) = (x-2)² - 3.

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Questions fréquentes

C'est quoi une équation du second degré, simplement ?

C'est une équation où l'inconnue apparaît au carré (x²), comme x² − x − 6 = 0. Image : si tu lances un ballon, sa hauteur au cours du temps suit une courbe en cloche (une parabole) ; chercher à quel moment il touche le sol, c'est résoudre une équation du second degré.

Pourquoi y a-t-il 0, 1 ou 2 solutions ?

Parce que la courbe est une parabole, une sorte de U. Selon sa hauteur, ce U peut couper la ligne du sol en deux endroits (2 solutions), juste la frôler (1 solution), ou rester complètement au-dessus sans la toucher (0 solution). C'est le discriminant qui dit dans quel cas on est.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

À beaucoup de choses : calculer la trajectoire d'un ballon ou d'une fusée, trouver les dimensions d'un terrain dont on connaît l'aire, ou encore le prix qui rapporte le plus gros bénéfice. Dès qu'une quantité dépend d'une autre « au carré », le second degré apparaît.

La forme canonique, ça sert à quoi concrètement ?

À repérer d'un coup d'œil le point le plus haut ou le plus bas de la courbe. Par exemple, pour un ballon, la forme canonique donne directement la hauteur maximale qu'il atteint et à quel instant — sans tâtonner.

Comment connaître le signe d'un trinôme sans tracer la courbe ?

On trouve d'abord ses racines (les endroits où il vaut 0), puis on retient une règle simple : le trinôme a le même signe que le coefficient a « à l'extérieur » des racines, et le signe opposé « entre » les racines. C'est comme un U : positif sur les deux branches qui montent, négatif au creux.

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