Le discriminant

Il permet de connaître le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0 avant même de les calculer, puis de les déterminer. Son signe résume tout : Δ > 0 deux racines, Δ = 0 une racine double, Δ < 0 aucune racine réelle.

Si Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Le trinôme garde alors un signe constant, celui de a.

L'équation a une seule solution, appelée racine double : x₀ = −b/(2a). Le trinôme est alors un carré parfait, a(x − x₀)², et la parabole est tangente à l'axe des abscisses.

On écrit l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et on lit les coefficients avec leurs signes. Un terme manquant correspond à un coefficient nul : dans x² − 4 = 0, on a a = 1, b = 0, c = −4.

Non. Si le trinôme est déjà factorisé ou si une racine est évidente, on peut conclure plus vite (avec la somme et le produit des racines, par exemple). Mais en cas de doute, le discriminant est la méthode sûre et systématique.

Pour un trinôme ax² + bx + c (avec a ≠ 0), le discriminant est Δ = b² − 4ac. Son signe indique le nombre de solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.

Si Δ > 0, l'équation a deux racines distinctes : x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a). Le trinôme se factorise alors en a(x − x₁)(x − x₂).

On calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, les deux racines sont (−b ± √Δ)/(2a). Si Δ = 0, il y a une racine double −b/(2a). Si Δ < 0, il n'y a aucune racine réelle.