Notion

L'inéquation du second degré

Une inéquation du second degré est une inégalité du type $a x^{2} + b x + c > 0$ ax²+bx+c>0 (ou $<, \leq, \geq$ <, ≤, ≥), avec $a \neq = 0$ a≠0. La résoudre revient à étudier le signe du trinôme $a x^{2} + b x + c$ ax²+bx+c. La méthode repose sur les racines et la règle « signe de $a$ a à l'extérieur des racines, signe de $- a$ -a entre les racines » : quand $Δ > 0$ Δ>0, le trinôme est du signe de $a$ a en dehors de l'intervalle des racines, et du signe opposé entre elles. Un tableau de signes résume tout. L'ensemble des solutions est en général une réunion d'intervalles. Ces inéquations servent à déterminer où une parabole est au-dessus ou en dessous de l'axe.

Définitions

Inéquation du second degré: C'est une inéquation du type $a x^{2} + b x + c$ ax² + bx + c comparé à $0$ 0 (avec $\leq, <, \geq, >$ ≤, <, ≥, >). On la résout en étudiant le signe du trinôme.
Lien avec les racines et le signe de a: Tout repose sur le signe du trinôme : un trinôme est du signe de $a$ a à l'extérieur de ses racines, et du signe contraire entre les racines. L'ensemble solution est donc une réunion d'intervalles déterminés par les racines, bornes incluses ou non selon que l'inégalité est large ( $\leq, \geq$ ≤, ≥) ou stricte ( $<, >$ <, >).

Formules

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Résolution par le signe →

a x^{2} + b x + c \leq 0 ⟺ x \in [x_{1}; x_{2}] (si a > 0, Δ > 0)

ax² + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈ [x₁ ;x₂] ( si a > 0, Δ > 0)On lit les solutions sur le tableau de signes du trinôme.

Méthodes

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Résoudre une inéquation du second degré →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Inéquation ≤ 0

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

x^{2} - x - 6 \leq 0

x² - x - 6 ≤ 0.

Voir la correction

1.
Racines $- 2$ -2 et $3$ 3, $a > 0$ a > 0 : trinôme négatif entre les racines.
→ Résolution par le signe
2.
$S = [- 2; 3]$ S = [-2 ;3] (bornes incluses).

Réponse :

S = [- 2; 3]

S = [-2 ;3].

Inéquation > 0

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

x^{2} - x - 6 > 0

x² - x - 6 > 0.

Voir la correction

1.
Même trinôme : positif à l'extérieur des racines.
→ Résolution par le signe
2.
$S =] - \infty; - 2 [\cup] 3; + \infty [$ S = ]-∞ ;-2[ ∪ ]3 ;+∞[ (bornes exclues car strict).

Réponse :

S =] - \infty; - 2 [\cup] 3; + \infty [

S = ]-∞ ;-2[ ∪ ]3 ;+∞[.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une inéquation du second degré ?

On étudie le signe du trinôme (racines + signe de a), puis on garde les intervalles qui conviennent à l'inégalité demandée.

Faut-il inclure les bornes ?

Oui pour une inégalité large (≤ ou ≥), non pour une inégalité stricte (< ou >). Les bornes sont les racines.

Que faire s'il n'y a pas de racine ?

Le trinôme garde le signe de a partout. L'inéquation est alors soit vraie pour tout x, soit jamais, selon le sens demandé.

Quelle différence avec une équation du second degré ?

Une équation cherche les valeurs où le trinôme vaut exactement 0 (les racines). Une inéquation cherche tous les x où il est positif ou négatif : la réponse n'est pas quelques nombres mais un ou plusieurs intervalles.

Comment écrire l'ensemble des solutions ?

C'est une réunion d'intervalles délimités par les racines. Les bornes sont incluses (crochets fermés) si l'inégalité est large (≤, ≥), exclues (crochets ouverts) si elle est stricte (<, >).

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