Notion

Le sommet d'une parabole

Q: C'est quoi le sommet d'une parabole ?

C'est son point le plus haut ou le plus bas, selon qu'elle est tournée vers le bas ou vers le haut. Il donne le maximum ou le minimum de la fonction.

Q: Comment trouver ses coordonnées ?

L'abscisse est α = −b/(2a). On calcule ensuite l'ordonnée en remplaçant : β = f(α). Le sommet est (α ; β).

Q: Comment savoir si c'est un minimum ou un maximum ?

On regarde le signe de a. Si a > 0 la parabole sourit (minimum), si a < 0 elle est tournée vers le bas (maximum).

Q: Quelle est la formule des coordonnées du sommet ?

Le sommet a pour abscisse α = −b/(2a) et pour ordonnée β = f(α). Ses coordonnées sont (−b/(2a) ; f(−b/(2a))).

Q: Le sommet est-il un minimum ou un maximum ?

Un minimum si a > 0 (parabole tournée vers le haut), un maximum si a < 0 (parabole tournée vers le bas).

Le sommet d'une parabole est le point où la fonction du second degré atteint son extremum : son minimum si la parabole est tournée vers le haut ( $a > 0$ a>0), son maximum si elle est tournée vers le bas ( $a < 0$ a<0). Ses coordonnées sont $(α; β)$ (α ;β) avec $α = \frac{- b}{2 a}$ α=(-b)/2a et $β = f (α)$ β=f(α) : ce sont exactement les valeurs qui apparaissent dans la forme canonique $a (x - α)^{2} + β$ a(x-α)²+β. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale $x = α$ x=α passant par le sommet. Connaître le sommet permet de tracer la courbe, de lire l'extremum et de résoudre les problèmes d'optimisation (aire ou trajectoire maximale).

Définitions

Sommet: C'est le point extrême de la parabole, d'abscisse $α = - \frac{b}{2 a}$ α = -b/2a et d'ordonnée $β = f (α)$ β = f(α).
Minimum ou maximum: Si $a > 0$ a > 0, la parabole est tournée vers le haut : le sommet est un minimum. Si $a < 0$ a < 0, elle est tournée vers le bas : c'est un maximum.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Coordonnées du sommet →

S (- \frac{b}{2 a}; f (- \frac{b}{2 a}))

S(-b/2a ; f (-b/2a))L'abscisse −b/(2a), l'ordonnée par l'image.

Méthodes

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Trouver le sommet d'une parabole →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Sommet et minimum

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer le sommet de

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5

f(x) = 2x² - 8x + 5 et préciser sa nature.

Voir la correction

1.
$α = - \frac{- 8}{2 \times 2} = 2$ α = -(-8)/(2× 2) = 2.
→ Coordonnées du sommet
2.
$β = f (2) = 8 - 16 + 5 = - 3$ β = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3.
3.
$a > 0$ a > 0 : minimum $- 3$ -3 en $x = 2$ x = 2. Sommet $S (2; - 3)$ S(2 ;-3).

Réponse :

S (2; - 3)

S(2 ;-3), minimum.

Méthode utilisée : $α = - \frac{b}{2 a}$ α=-b/2a, puis $β = f (α)$ β=f(α) ; le signe de $a$ a donne la nature.

Erreur fréquente : Oublier de calculer $β = f (α)$ β=f(α).

Sommet et maximum

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer le sommet de

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3

f(x) = -x² + 2x + 3.

Voir la correction

1.
$α = - \frac{2}{2 \times ( - 1 )} = 1$ α = -2/(2×(-1)) = 1.
→ Coordonnées du sommet
2.
$β = f (1) = - 1 + 2 + 3 = 4$ β = f(1) = -1 + 2 + 3 = 4.
3.
$a < 0$ a < 0 : maximum $4$ 4 en $x = 1$ x = 1. Sommet $S (1; 4)$ S(1 ;4).

Réponse :

S (1; 4)

S(1 ;4), maximum.

Méthode utilisée : $α = - \frac{b}{2 a}$ α=-b/2a, $β = f (α)$ β=f(α).

Erreur fréquente : Conclure « minimum » alors que $a < 0$ a<0 donne un maximum.

Faire les 10 exercices types sur sommet d'une parabole8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi le sommet d'une parabole ?

C'est son point le plus haut ou le plus bas, selon qu'elle est tournée vers le bas ou vers le haut. Il donne le maximum ou le minimum de la fonction.

Comment trouver ses coordonnées ?

L'abscisse est α = −b/(2a). On calcule ensuite l'ordonnée en remplaçant : β = f(α). Le sommet est (α ; β).

Comment savoir si c'est un minimum ou un maximum ?

On regarde le signe de a. Si a > 0 la parabole sourit (minimum), si a < 0 elle est tournée vers le bas (maximum).

Quelle est la formule des coordonnées du sommet ?

Le sommet a pour abscisse α = −b/(2a) et pour ordonnée β = f(α). Ses coordonnées sont (−b/(2a) ; f(−b/(2a))).

Le sommet est-il un minimum ou un maximum ?

Un minimum si a > 0 (parabole tournée vers le haut), un maximum si a < 0 (parabole tournée vers le bas).

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