Le discriminant — exercices types corrigés

1. 1.
   On identifie $a=1$a = 1, $b=-5$b = -5, $c=6$c = 6.
2. 2.
   $\Delta =b^2-4ac=(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1$Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4× 1× 6 = 25 - 24 = 1.

   → Formule du discriminant
3. 3.
   $\Delta =1>0$Δ = 1 > 0 : deux racines distinctes, avec $\sqrt{\Delta }=1$√(Δ) = 1.
4. 4.
   $x_1=\frac{5-1}{2}=2$x₁ = (5 - 1)/2 = 2 et $x_2=\frac{5+1}{2}=3$x₂ = (5 + 1)/2 = 3.

   → Racines quand Δ > 0

1. 1.
   On a $a=2$a = 2, $b=3$b = 3, $c=-2$c = -2, donc $\Delta =3^2-4\times 2\times (-2)=9+16=25$Δ = 3² - 4× 2×(-2) = 9 + 16 = 25.

   → Formule du discriminant
2. 2.
   $\Delta =25>0$Δ = 25 > 0 : deux solutions, et $\sqrt{\Delta }=5$√(Δ) = 5.
3. 3.
   $x_1=\frac{-3-5}{4}=-2$x₁ = (-3 - 5)/4 = -2 et $x_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}$x₂ = (-3 + 5)/4 = 1/2.

   → Racines quand Δ > 0

Méthode utilisée : $\Delta$Δ puis $\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$(-b±√(Δ))/2a.

Erreur fréquente : Diviser par $2$2 au lieu de $2a=4$2a=4.

1. 1.
   $a=1$a = 1, $b=-6$b = -6, $c=9$c = 9, donc $\Delta =(-6{)}^2-4\times 1\times 9=36-36=0$Δ = (-6)² - 4× 1× 9 = 36 - 36 = 0.

   → Formule du discriminant
2. 2.
   $\Delta =0$Δ = 0 : une racine double $x_0=\frac{-(-6)}{2\times 1}=\frac{6}{2}=3$x₀ = (-(-6))/(2× 1) = 6/2 = 3.

   → Racine double quand Δ = 0
3. 3.
   Le trinôme se factorise en $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$x² - 6x + 9 = (x - 3)².

   → Forme factorisée

1. 1.
   $a=1$a = 1, $b=1$b = 1, $c=1$c = 1, donc $\Delta =1^2-4\times 1\times 1=1-4=-3$Δ = 1² - 4× 1× 1 = 1 - 4 = -3.

   → Formule du discriminant
2. 2.
   $\Delta =-3<0$Δ = -3 < 0 : l'équation n'a aucune racine réelle.

1. 1.
   $a=3$a = 3, $b=-2$b = -2, $c=-1$c = -1 : $\Delta =(-2{)}^2-4\times 3\times (-1)=4+12=16$Δ = (-2)² - 4× 3×(-1) = 4 + 12 = 16.

   → Formule du discriminant
2. 2.
   $\Delta =16>0$Δ = 16 > 0, $\sqrt{\Delta }=4$√(Δ) = 4 : $x=\frac{2\pm 4}{6}$x = (2 ± 4)/6.

   → Racines quand Δ > 0
3. 3.
   $x_1=1$x₁ = 1, $x_2=-\frac{1}{3}$x₂ = -1/3.

1. 1.
   $a=1$a = 1, $b=0$b = 0, $c=-9$c = -9 : $\Delta =0-4\times 1\times (-9)=36$Δ = 0 - 4× 1×(-9) = 36.

   → Formule du discriminant
2. 2.
   $\sqrt{\Delta }=6$√(Δ) = 6 : $x=\frac{0\pm 6}{2}$x = (0 ± 6)/2, soit $3$3 et $-3$-3.

   → Racines quand Δ > 0

1. 1.
   $a=1$a = 1, $b=-5$b = -5, $c=0$c = 0 : $\Delta =25-0=25$Δ = 25 - 0 = 25.

   → Formule du discriminant
2. 2.
   $\sqrt{\Delta }=5$√(Δ) = 5 : $x=\frac{5\pm 5}{2}$x = (5 ± 5)/2, soit $5$5 et $0$0.

   → Racines quand Δ > 0
3. 3.
   (On pouvait aussi factoriser : $x(x-5)=0$x(x - 5) = 0.)

1. 1.
   Somme $S=-\frac{b}{a}=\frac{7}{2}$S = -b/a = 7/2 ; produit $P=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$P = c/a = 3/2.

   → Somme et produit des racines
2. 2.
   Les racines : $\Delta =49-24=25$Δ = 49 - 24 = 25, $x=\frac{7\pm 5}{4}$x = (7 ± 5)/4, soit $3$3 et $\frac{1}{2}$1/2.
3. 3.
   Vérification : $3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$3 + 1/2 = 7/2 ✓ et $3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$3×1/2 = 3/2 ✓.

Méthode utilisée : Somme $=-\frac{b}{a}$=-b/a, produit $=\frac{c}{a}$=c/a.

1. 1.
   Une racine double correspond à $\Delta =0$Δ = 0. Ici $\Delta =m^2-4\times 1\times 1=m^2-4$Δ = m² - 4× 1× 1 = m² - 4.

   → Formule du discriminant
2. 2.
   $\Delta =0⟺m^2=4⟺m=2$Δ = 0 ⇔ m² = 4 ⇔ m = 2 ou $m=-2$m = -2.

Méthode utilisée : Racine double $\iff \Delta =0$⇔ Δ=0.

Erreur fréquente : Oublier une solution : $m^2-4=0$m²-4=0 donne $m=2$m=2 ET $m=-2$m=-2.

1. 1.
   Deux nombres de somme $S$S et produit $P$P sont les racines de $x^2-Sx+P=0$x² - Sx + P = 0, soit $x^2-7x+12=0$x² - 7x + 12 = 0.

   → Somme et produit des racines
2. 2.
   $\Delta =49-48=1$Δ = 49 - 48 = 1, $\sqrt{\Delta }=1$√(Δ) = 1 : $x=\frac{7\pm 1}{2}$x = (7 ± 1)/2.

   → Racines quand Δ > 0
3. 3.
   Les deux nombres sont $4$4 et $3$3 (vérif : $4+3=7$4 + 3 = 7, $4\times 3=12$4× 3 = 12).