Notion

La forme canonique

Q: À quoi sert la forme canonique ?

À lire d'un coup d'œil le sommet de la parabole, donc le maximum ou le minimum de la fonction. Très utile pour les problèmes d'optimisation.

Q: Comment trouver α et β ?

α = −b/(2a) donne l'abscisse du sommet, puis β = f(α) en remplaçant. La forme est alors a(x − α)² + β.

Q: Comment vérifier sa forme canonique ?

On la développe : on doit retomber exactement sur le trinôme de départ.

Q: Quelle est la formule de la forme canonique ?

ax² + bx + c = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α). Le point (α ; β) est le sommet de la parabole.

Q: Quelle différence entre forme canonique et forme factorisée ?

La forme canonique a(x − α)² + β met en évidence le sommet (α ; β) ; elle existe toujours. La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) met en évidence les racines ; elle n'existe que si le trinôme a des racines (Δ ≥ 0).

La forme canonique d'un trinôme du second degré l'écrit sous la forme $a (x - α)^{2} + β$ a(x-α)²+β, où $(α; β)$ (α ;β) sont les coordonnées du sommet de la parabole. On l'obtient à partir de $a x^{2} + b x + c$ ax²+bx+c avec $α = \frac{- b}{2 a}$ α=(-b)/2a et $β = f (α)$ β=f(α). Cette écriture révèle immédiatement le sommet, l'axe de symétrie $x = α$ x=α, le sens des variations et l'extremum de la fonction : minimum si $a > 0$ a>0, maximum si $a < 0$ a<0. Elle est idéale pour les problèmes d'optimisation et pour tracer la parabole. Forme canonique, développée et factorisée décrivent la même fonction ; on choisit la forme adaptée à la question posée.

Définitions

Forme canonique: C'est l'écriture $a (x - α)^{2} + β$ a(x - α)² + β d'un trinôme, avec $α = - \frac{b}{2 a}$ α = -b/2a (abscisse du sommet) et $β = f (α)$ β = f(α) (extremum).
Sommet et extremum: Le couple $(α; β)$ (α ;β) est le sommet de la parabole. $β$ β est le minimum si $a > 0$ a > 0, le maximum si $a < 0$ a < 0.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Forme canonique →

a x^{2} + b x + c = a (x - α)^{2} + β, α = - \frac{b}{2 a}, β = f (α)

a x² + bx + c = a(x - α)² + β, α = -b/2a, β = f(α)a x² + b x + c = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α)Réécrire un trinôme autour de son sommet.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Trouver la forme canonique →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Forme canonique (a = 1)

Niveau 2 · Méthode complète

Écrire

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

f(x) = x² - 4x + 1 sous forme canonique.

Voir la correction

1.
$α = - \frac{- 4}{2} = 2$ α = -(-4)/2 = 2.
→ Forme canonique
2.
$β = f (2) = 4 - 8 + 1 = - 3$ β = f(2) = 4 - 8 + 1 = -3.
3.
$f (x) = (x - 2)^{2} - 3$ f(x) = (x - 2)² - 3.

Réponse :

f (x) = (x - 2)^{2} - 3

f(x) = (x - 2)² - 3.

Avec un coefficient a

Niveau 3 · Type contrôle

Écrire

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5

f(x) = 2x² - 8x + 5 sous forme canonique.

Voir la correction

1.
$α = - \frac{- 8}{2 \times 2} = 2$ α = -(-8)/(2× 2) = 2.
→ Forme canonique
2.
$β = f (2) = 8 - 16 + 5 = - 3$ β = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3.
3.
$f (x) = 2 (x - 2)^{2} - 3$ f(x) = 2(x - 2)² - 3.

Réponse :

f (x) = 2 (x - 2)^{2} - 3

f(x) = 2(x - 2)² - 3.

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Questions fréquentes

À quoi sert la forme canonique ?

À lire d'un coup d'œil le sommet de la parabole, donc le maximum ou le minimum de la fonction. Très utile pour les problèmes d'optimisation.

Comment trouver α et β ?

α = −b/(2a) donne l'abscisse du sommet, puis β = f(α) en remplaçant. La forme est alors a(x − α)² + β.

Comment vérifier sa forme canonique ?

On la développe : on doit retomber exactement sur le trinôme de départ.

Quelle est la formule de la forme canonique ?

ax² + bx + c = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α). Le point (α ; β) est le sommet de la parabole.

Quelle différence entre forme canonique et forme factorisée ?

La forme canonique a(x − α)² + β met en évidence le sommet (α ; β) ; elle existe toujours. La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) met en évidence les racines ; elle n'existe que si le trinôme a des racines (Δ ≥ 0).

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