Notion

Le signe d'un trinôme

Q: Et s'il n'a pas de racine ?

Si Δ < 0, le trinôme ne s'annule jamais : il garde le signe de a sur tout ℝ.

Q: Comment retenir la règle ?

Avec l'image de la parabole : tournée vers le haut (a > 0), elle est au-dessus de l'axe (positive) sauf entre les racines où elle plonge en dessous.

Étudier le signe d'un trinôme du second degré $a x^{2} + b x + c$ ax²+bx+c, c'est déterminer pour quelles valeurs de $x$ x il est positif, négatif ou nul. La règle dépend du discriminant $Δ$ Δ et du signe de $a$ a. Si $Δ > 0$ Δ>0, le trinôme a deux racines et suit la règle « signe de $a$ a à l'extérieur des racines, signe de $- a$ -a entre les racines ». Si $Δ = 0$ Δ=0, il est du signe de $a$ a partout, sauf en la racine double où il s'annule. Si $Δ < 0$ Δ<0, il n'a pas de racine et garde le signe de $a$ a sur tout $R$ ℝ. Un tableau de signes résume l'étude, indispensable pour les inéquations du second degré.

Définitions

Signe d'un trinôme: C'est l'étude des intervalles où $a x^{2} + b x + c$ ax² + bx + c est positif, négatif ou nul, en s'appuyant sur les racines et le signe de $a$ a.
Règle du signe: Avec deux racines, le trinôme est du signe de $a$ a à l'extérieur de l'intervalle des racines, et du signe de $- a$ -a entre les racines.

Formules

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Règle du signe →

signe de a \overset{a}{ˋ} l’ext \overset{e}{ˊ} rieur des racines, signe oppos \overset{e}{ˊ} entre elles

signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre ellesLe trinôme suit le signe de a, sauf entre les racines.

Méthodes

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Étudier le signe d'un trinôme →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Signe avec deux racines

Niveau 2 · Méthode complète

Étudier le signe de

x^{2} - x - 6

x² - x - 6.

Voir la correction

1.
Racines $- 2$ -2 et $3$ 3, $a = 1 > 0$ a = 1 > 0.
→ Règle du signe
2.
Positif sur $] - \infty; - 2 [\cup] 3; + \infty [$ ]-∞ ;-2[∪]3 ;+∞[, négatif sur $] - 2; 3 [$ ]-2 ;3[.

Réponse :

> 0

> 0 hors de

[- 2; 3]

[-2 ;3],

< 0

< 0 sur

] - 2; 3 [

]-2 ;3[.

Coefficient a négatif

Niveau 2 · Méthode complète

Étudier le signe de

- x^{2} + 2 x + 3

-x² + 2x + 3 (racines

- 1

-1 et

3

3).

Voir la correction

1.
$a = - 1 < 0$ a = -1 < 0 : signe de $a$ a (négatif) à l'extérieur des racines.
→ Règle du signe
2.
Négatif sur $] - \infty; - 1 [\cup] 3; + \infty [$ ]-∞ ;-1[∪]3 ;+∞[, positif sur $] - 1; 3 [$ ]-1 ;3[.

Réponse :

< 0

< 0 hors de

[- 1; 3]

[-1 ;3],

> 0

> 0 sur

] - 1; 3 [

]-1 ;3[.

Faire les 10 exercices types sur signe d'un trinôme8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Comment trouver le signe d'un trinôme ?

On cherche ses racines, puis on applique la règle : il est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre elles.

Et s'il n'a pas de racine ?

Si Δ < 0, le trinôme ne s'annule jamais : il garde le signe de a sur tout ℝ.

Comment retenir la règle ?

Avec l'image de la parabole : tournée vers le haut (a > 0), elle est au-dessus de l'axe (positive) sauf entre les racines où elle plonge en dessous.

Comment étudier le signe d'un trinôme ?

On calcule le discriminant Δ et les racines. Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines. On résume dans un tableau de signes.

Quel est le signe d'un trinôme sans racine ?

Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle : il garde le signe de a sur tout ℝ (toujours positif si a > 0, toujours négatif si a < 0).

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